非厄米系数矩阵在自伴算子离散化中的作用

计算科学 线性代数 pde 时间积分
2021-12-28 17:58:17

非对称系数矩阵在求解具有自伴随算子的偏微分方程中的作用是什么？

特别是，我正在考虑线性方程的时间传播

i∂tv=Mv
其中是自伴的。（或者等价地，没有复数单元然后是斜厄米特，或者在实际情况下是对称的或斜对称的），MiM

这个方程在等距网格上的离散化，连同通常的导数有限差分公式，导致一个厄米系数矩阵。频谱扩展也是如此。生成的矩阵具有很好的特性：可以将它们对角化并获得实特征值和正交特征向量，可以应用为对称矩阵量身定制的线性代数例程，等等。

另一方面，有几种成功的方法（非等间距网格上的有限差分、单边有限差分、切比雪夫和其他伪谱方法等）可以实现更精确的扩展（例如在重要区域更精细的网格） ，但通常会导致非厄米系数矩阵。

什么是可取的？我应该尽可能长时间地保持对称性吗？或者也可以依赖非对称矩阵？

这是一个困扰我很久的问题，我还没有找到具体的分析。但是，由于“稳定性”或其他原因，几乎所有参考文献似乎都给出了诸如“系数矩阵中的对称性更可取”之类的陈述。

问题（更详细）：

  1. 这种对称性破缺的理论影响是什么？我看到的问题：特征值可能变得复杂，因此不能保证变分优化仍然成立。这也意味着守恒定律不再成立。这是实践中的问题，还是非对称离散化（数值）的良好选择可以避免这些问题？

  2. 使用非对称系数矩阵有什么缺点？（除了明显的没有可以使用专门为对称矩阵设计的线性代数例程之外）。

  3. 如果使用非对称矩阵应该有一个缺点：人为引入对称是否合理？例如，通过对称，根据第一个或更复杂的结构，如变量变化等？[M~ij=1/2(Mij+Mji)](D2=D1TD1)

  4. 总结前面的观点：有没有考虑这个话题的参考资料（在任何方面）？

1个回答

我会回答为什么有时偏斜对称矩阵更可取。

首先要注意的是，这通常取决于问题。但是对于一般的一维偏微分方程

∂u∂t+∂f∂x=0

斜对称具有明显的优势。假设我们将这个方程离散化，那么我们将得到

ut+Du=0

现在假设 D 是斜对称的，那么我们有

DT=−D

现在让我们找出的导数是什么u2

(uTu)t=(uT)tu+uTut

用我们的表达式代替我们得到，ut

(uTu)t=−(Du)Tu−uTDu

(uTu)t=−uTDTu−uTDu

(uTu)t=−uT(DT+D)u

回想一下斜对称矩阵属性，DT=−D

所以，

(uTu)t=0

有几点需要注意。首先就是我们通常所说的动能（系数为 2）。(uTu)t

其次，原方程有一个发散项，

∂f∂x

这意味着如果我们进行体积积分，任何能量都只能通过边界进入。因此，通常应该满足，除非 PDE 中存在耗散项。这正是斜对称算子正在做的事情。(uTu)t=0

我将链接到我认为有用的演示文稿。

http://calcul.math.cnrs.fr/Documents/Ecoles/CEMRACS2012/Julius_Reiss.pdf

同样，这一切都取决于个人问题。不同的 PDE 可能不喜欢这种方法。不同的算子矩阵可能具有其他一些更可取的属性。

例如，在

https://arxiv.org/pdf/1605.09763v1.pdf

对流算子，即

u.∇u

转换为斜对称形式

12(u.∇u+(∇.u)u)

实际上有很多文献都进行了类似的转换。这样做的原因是因为通常没有均匀的网格，因此对离散化算子的控制较少，因此 PDE 项本身被转换为强制倾斜对称。

另一种常见的技术是将有限差分算子通过部分算子求和，这本质上是将其转换为斜对称。这是一篇展示该技术的论文。

http://link.springer.com/article/10.1007/s10543-015-0599-0

但显然这仅在有限差分是一种选择时才有用。

因此，从本质上讲，越来越多的研究正在开展以创建方案以满足所需的特性。

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