计算科学 - 非线性热导方程的数值解 - 吾爱随笔录

我必须找到并绘制以下方程的数值解（我必须编写一个求解器）：

u_{t} = (u^{2} u_{x})_{x}

$u_{t} = (u^2 u_x)_x$ 符合以下条件

u (0, t) = 0, u (1, t) = \sqrt{\frac{2 c - 2}{t}}, u (x, 0) = 0

$u(0,t) =0, u(1,t) = \sqrt{\frac{2c-2}{t}}, u(x,0) = 0$ ，在哪里

c

$c$ 是波的速度

我尝试使用以下方法：

\frac{u_{m}^{n + 1} - u_{m}^{n}}{τ} = \frac{F_{m + 1 / 2}^{n} - F_{m - 1 / 2}^{n}}{h}

$\frac{u_{m}^{n+1} - u_{m}^n}{\tau} = \frac{F_{m +1/2}^n - F_{m-1/2}^n}{h}$ 在哪里

F_{m + 1 / 2}^{n} = (u_{m + 1 / 2}^{n})^{2} (\frac{u_{m + 1}^{n} - u_{m - 1}^{n}}{h})

$F_{m+1/2}^n = (u_{m+1/2}^n)^2(\frac{u_{m+1}^n - u_{m-1}^n}{h})$ 在哪里

u_{m + 1 / 2}^{n} = \frac{u_{m + 1}^{n} + u_{m}^{n}}{2}

$u_{m+1/2}^n = \frac{u_{m+1}^n + u_{m}^n}{2}$

tt = 0.1;

tnn = 10000;

xnn = 20;

tau = tt/tnn;

h = 1/xnn;

u0[x_] := x;

Do[v[m, 0] = u0[h*m], {m, 0, xnn}]

Do[v[0, n] = 0; v[xnn, n] = 0;
 Do[v[m, n + 1] =

v[m, n] + tau/h*( ((v[m + 1, n] - v[m, n])/h) (((v[m + 1, n])^2 + (v [m, n])^2)/ 2) - ((v[m, n] - v[m - 1, n])/h) (((v[m, n])^2 + (v[ m - 1, n])^2)/2) ), {m, 1, xnn - 1}], {n, 0, tnn - 1}]

u = ListInterpolation[
   Table[v[i, j], {i, 0, xnn}, {j, 0, tnn}], {{0, 1}, {0, tt}}];

Plot3D[u[x, t], {x, 0, 1}, {t, 0, tt}, PlotRange -> All]

我已经更改了代码并得到了正确的解决方案，但是对于 u(0,t)=u(1,t) = 0，u(x,0) = f(x)。我实际上不明白我应该如何编写像 u(1,t) = f(t) 这样的条件。