计算科学 - 简单的矩阵乘法？ - 吾爱随笔录

简单的矩阵乘法？

计算科学线性代数

2021-12-13 17:32:09

任何人都可以显示我如何将总和转换为规范的步骤，如下所示：

\sum_{j = 1}^{M^{'}} (λ_{j} (L x)_{j}^{2}) = ‖ L_{λ} x ‖^{2}, where L_{λ} = Λ^{1 / 2} L and Λ = d i a g (λ) .

$\sum_{j=1}^{M'} \big(\lambda_j (\mathbf{L}\mathbf{x})^2_j\big) = \|\mathbf{L}_\lambda \mathbf{x}\|^2, \qquad\text{where } \mathbf{L}_\lambda = \mathbf{\Lambda}^{1/2}\mathbf{L} \text{ and } \mathbf{\Lambda} = \mathrm{diag}(\lambda).$ 其中是矩阵，是向量。

L

$L$

x

$x$

1个回答

定义 $u_j = (L\boldsymbol{x})_j$ 。然后我们可以执行以下操作：

\begin{aligned} \sum_{j = 1}^{n} λ_{j} u_{j}^{2} & = \sum_{j = 1}^{n} (λ_{j}^{1 / 2} u_{j})^{2} \\ = (Λ^{1 / 2} u)^{T} (Λ^{1 / 2} u) \\ = {‖ Λ^{1 / 2} u ‖}^{2} \\ = {‖ Λ^{1 / 2} L x ‖}^{2} \\ = {‖ L_{λ} x ‖}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{j=1}^{n} \lambda_j u_j^2 &= \sum_{j=1}^{n} (\lambda_j^{1/2} u_j)^2 \\ &= (\Lambda^{1/2}\boldsymbol{u})^{T}(\Lambda^{1/2}\boldsymbol{u}) \\ &= \left\lVert \Lambda^{1/2}\boldsymbol{u} \right\rVert^2 \\ &= \left\lVert \Lambda^{1/2}L\boldsymbol{x} \right\rVert^2 \\ &= \left\lVert L_{\lambda}\boldsymbol{x} \right\rVert^2 \end{align}$

正如您所说，其中。 $L_{\lambda} = \Lambda^{1/2}L$

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