计算科学 - 涉及导数项的通量的 WENO 重构 - 吾爱随笔录

我有一组修改后的可压缩欧拉方程，我想使用 WENO 方法求解。问题是修改后的通量函数涉及导数和过滤项，我不确定如何在 WENO 方案中以一致的方式计算导数项。为简单起见，问题的关键方面可以用修改后的一维 Burgers 方程来说明

u_{t} + {(\frac{1}{2} u^{2} + \frac{3}{2} α^{2} \bar{(u_{x})^{2}})}_{x} = 0

$u_t + \left( \dfrac{1}{2}u^2+\dfrac{3}{2}\alpha^2\overline{(u_x)^2} \right)_x = 0$

其中上划线表示使用亥姆霍兹滤波器的滤波操作 $\overline{f} = g^\alpha*f$ 和

g^{α} (x) = \frac{1}{2 α} e^{- | x / α |}

$g^\alpha(x) = \dfrac{1}{2\alpha}e^{-|x/\alpha|}$

如果 $\alpha$ 在网格间距的尺度上，这个 PDE 在网格间距的尺度上产生近乎不连续的地方，所以我想使用 WENO 方法进行模拟。

我的问题：考虑到 $u$ 在网格点，我应该如何计算 $u_x$ 在网格点，以便我可以以 WENO 方式重建通量函数，因为在网格点可能存在近乎不连续性 $u$ .

或者，重建会更容易/更明智吗 $u$ 和 $u_x$ 在半网格点，然后根据这些重建值计算通量函数？如果是这样，我应该如何计算 $u_x$ 在半格点？