计算科学 - 热方程解 L2 范数的物理解释 - 吾爱随笔录

对于热方程

u_{t} (t, x) = ν u_{x x} (t, x)

$\begin{equation} u_t(t,x) = \nu u_{xx}(t,x) \end{equation}$

对于具有边界条件和初始值很容易证明“能量“ 定义为 $x \in [0,1]$ $u(t,0) = u(t,1) = 0$ $u(0,x) = u_0(x)$

E (t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{2} (t, x) d x

$\begin{equation} E(t) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^2(t,x)~dx \end{equation}$

随时间衰减，即。是否有任何物理解释？ $E(t) \leq E(0)$ $E$

就单位而言，是以开尔文为单位的温度，而热扩散率的单位，由组成其中是以为单位的热导率，为单位的密度，为单位的比热容。 $u$ $\nu$ $m^2/s$

ν = \frac{k}{ρ c_{p}}

$\begin{equation} \nu = \frac{k}{\rho c_p} \end{equation}$

k

$k$

W / (m * K)

$W/(m*K)$

ρ

$\rho$

k g / m^{3}

$kg/m^3$

c_{p}

$c_p$

J / (k g * K)

$J/(kg*K)$

发现与每体积焦耳的内部能量有关。 $u$

I = c_{p} ρ u .

$\begin{equation} I = c_p \rho u. \end{equation}$