计算科学 - 使用有限差分解决特征值问题，无需矢量化 - 吾爱随笔录

我有兴趣解决问题 $-A u = \lambda u$ 在正方形的有限差分网格上。就我而言，运营商 $A$ 是类型 $-\Delta + \mu I$ ，在哪里 $\mu$ 有没有施加一些限制。到目前为止我使用的方法是考虑有限差分网格并得到

4 u_{i, j} - u_{i, j + 1} - u_{i, j - 1} - u_{i + 1, j} - u_{i - 1, j} + μ_{i, j} u_{i, j} = λ u_{i, j}

$4u_{i,j} - u_{i,j+1}-u_{i,j-1}-u_{i+1,j}-u_{i-1,j} + \mu_{i,j} u_{i,j}=\lambda u_{i,j}$ 然后我们变换

u_{i, j}

$u_{i,j}$ 在向量中并以矩阵形式写出上述问题

A u = λ u

$Au = \lambda u$ . 我遇到的问题是矩阵的大小

A

$A$ 是

n \times n

$n \times n$ ，在哪里

n

$n$ 是网格中的点数。因此，对于具有

N^{2}

$N^2$ 点矩阵的维数是

N^{2} \times N^{2}

$N^2 \times N^2$ . 因此，矩阵的大小相对于离散化增长得非常快。

是否可以在没有矢量化的情况下解决此类问题，即仅使用大小矩阵 $N \times N$ ?

我的想法如下：如果我们表示 $U=(u_{i,j})$ 那么离散偏微分方程可以写为
$(4 I - S_{0, 1} - S_{0, - 1} - S_{1, 0} - S_{- 1, 0}) U + μ ⊙ U = λ U,$ $(4I -S_{0,1}-S_{0,-1}-S_{1,0}-S_{-1,0})U+\mu \odot U=\lambda U,$ 在哪里 $S_{i,j}$ 是矩阵的位移 $i$ 在水平和 $j$ 在垂直方向。这 $\odot$ 是“逐点”产品。这可以导致解决方案吗？