计算科学 - 使用c ++ Eigen库的特征值顺序问题 - 吾爱随笔录

使用c ++ Eigen库的特征值顺序问题

计算科学 C++ 特征值本征

2021-12-10 07:23:39

我有以下 6x6 矩阵（取自Google Books第 129 页）：

在此处输入图像描述

背景信息：所有条目都取决于动量 $k$ . 获取每个矩阵的特征值 $k$ 对应于 6 个不同电子带的电子的电子能量，特征向量是系数（我们称它们为 $a$ ) 来计算电子波函数。

我也可以把这个特征值问题写成：

$\sum_{j'}H^{LK}_{j,j'}a_{j'} = E_ja_j$

我知道哪个 j 是哪个电子乐队。但是：当我引入一个数值网格并解决这个特征值问题（使用来自 Eigen 库的 c++ 和 ComplexEigenSolver）并且我查看第一个特征值时，它不对应于 $j=1$ （其值已知）。它更对应于另一个 j。这是因为特征求解器没有按特定顺序给出特征值。但我需要这个命令不要混淆不同的特征值或特征向量 $j$ . 原则上，特征值和向量都可以是复数。有没有办法获取特征值和向量，以便它们的顺序对应于我的矩阵定义？

1个回答

这与 Eigen 无关：如果您不能仅通过查看矩阵来确定应如何标记特征值，则不能指望 Eigen 为您做这件事。此外，您可以在数学上精确定义标签的分配方式。

从您的示例图来看，您似乎假设标记的特征值形成平滑曲线。因此，显而易见的尝试是从先前的网格点（在一维网格上）进行外推：在网格点 $k$ 从预计下一个术语的两个或三个先前的网格点推断，

(A_{k - 3}, A_{k - 2}, A_{k - 1}) \mapsto A_{k}^{e x t r a p}, (B_{k - 3}, B_{k - 2}, B_{k - 1}) \mapsto B_{k}^{e x t r a p} .

$(A_{k-3}, A_{k-2}, A_{k-1})\mapsto A^{extrap}_k, \qquad (B_{k-3},B_{k-2},B_{k-1})\mapsto B^{extrap}_k.$ 然后计算你的特征值

λ_{1, 2}

$\lambda_{1,2}$ 并将每个分配给

A

$A$ 要么

B

$B$ 取决于它更接近哪个。例如，您可以尝试分配标签以最小化

| λ_{a} - A_{k}^{e x t r a p} | + | λ_{b} - B_{k}^{e x t r a p} | .

$|\lambda_{a}-A_k^{extrap}|+|\lambda_{b}-B_k^{extrap}|.$ 这将适用于您的示例图，甚至可能只是线性外推。

您可能还需要调整外推顺序，或尝试不同类型的外推以查看有效的方法。

编辑 （问题改变了）。所以如果你有你的特征值 $E_j(k)$ 作为函数 $k$ ，基本上相同的方法可能有效。如果你假设 $E_j(k)$ 是一个平滑函数 $k$ , 对于每个 $j$ ，然后在分配标签时 $j$ 在下一个值 $k$ 您可以将每个过去的特征值外推为 $E_j(k)$ ，然后根据最小化诸如平方外推误差之和之类的东西来分配标签，

\sum_{j} | λ_{σ (j)} - E_{j} |^{2},

$\sum_j \big| \lambda_{\sigma(j)} - E_j \big|^2,$ 在哪里

σ

$\sigma$ 是将标签分配给未标记的特征值的排列。

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