计算科学 - 二维平面有限差分问题中的边界条件 - 吾爱随笔录

我正在研究二维平面有限差分代码。我在边界节点的差分方案涉及在计算中引入幽灵节点。我的代码还涉及到一个多维导数：

\frac{d^{2} u}{d x d y} \approx \frac{u_{i + 1, j + 1} - u_{i + 1, j - 1} - u_{i - 1, j + 1} + u_{i - 1, j - 1}}{4 Δ x Δ y}

$\frac{d^2u}{dxdy} \approx \frac{u_{i+1,j+1} - u_{i+1,j-1} - u_{i-1, j+1} + u_{i-1,j-1}}{4\Delta x\Delta y}$

该方案在角落节点成为问题。让我举例说明：

g 1 g 2 g 3 g 4 d 1 d 2 g 5 d 3 d 4

$g1\ \ g2 \ \ g3 \\ g4\ \ d1 \ \ d2 \\ g5\ \ d3 \ \ d4 \\$

g 代表幽灵代码，d 代表我正在求解的真实域节点。x方向是水平的；y 方向是垂直的。为上边界和左边界指定了狄利克雷边界条件。比方说 $u=u_1$ 在顶部边界和 $u=u_2$ 在左边界。幽灵节点 g1 的边界条件应该是什么，它位于 x 和 y 边界上？