计算科学 - FEM/FVM/FD 用于结构建模和由于大结构常数引起的稳定性问题？ - 吾爱随笔录

我读过在建模结构问题中，通常使用有限元法（FEM）。我不熟悉 FEM，但我特别想知道，如果使用 FEM，而不是有限差分/体积，是否可以缓解由于大结构常数而可能出现的一些数值稳定性问题？

我目前正在尝试使用 FVM求解瞬态线性弹性方程（参见https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_elasticity#Direct_tensor_form ）。为了便于演示，我们可以在没有剪切并假设密度不变的情况下考虑该方程的一维形式（只是经典的二阶双曲波动方程）：

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{2\mu + \lambda}{\rho} * \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ .

在哪里 $u$ 是 x 位移， $\rho$ 是质量密度和 $\mu$ 和 $\lambda$ 是跛脚常数（见http://scienceworld.wolfram.com/physics/LameConstants.html）。我通过将二阶导数方程转换为两个一阶方程来解决这个问题：让

\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}} = \frac{d z}{d t}

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{dz}{dt}$ 在哪里

z = \frac{d u}{d t}

$z = \frac{du}{dt}$ 或向量形式：

\frac{d q}{t} = g

$\frac{d\boldsymbol{q}}{t} = \boldsymbol{g}$ 在哪里

q = [u q]

$\boldsymbol{q} = [u \ \ \ \ \ q]$ 和

g = [z \frac{2 μ + λ}{ρ} * \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = f

$g = [z \ \ \ \ \ \frac{2\mu+\lambda}{\rho}* \frac{\partial^2u}{\partial x^2}=f$ ]

在初步建模中，我使用了显式欧拉并将我的常量设置为 1。代码“看起来”很稳定。然后我将常数设置为代表钢和其他一些感兴趣的材料，其中 Lame 常数介于 O(10^8)-O(10^11) 之间。这严重限制了我可以用于我的代码的时间步长。

因此，我决定尝试实现一个隐式方案。为此，我尝试使用雅可比矩阵来表述我的问题

\frac{d q}{d t} = A q

$\frac{d\boldsymbol{q}}{dt} = A\boldsymbol{q}$ 其中 A 是雅可比矩阵

A = \frac{d g}{d q} = [\begin{matrix} 0 & I \\ \frac{d f}{d u} & 0 \end{matrix}]

$A = \frac{d\boldsymbol{g}}{d\boldsymbol{q}} = \begin{bmatrix} 0 & I \\ \frac{df}{du} & 0 \end{bmatrix}$

然后我找到了这个雅可比矩阵的特征值，并找到了具有正实根的特征值，这表明这个问题至少在大多数传统的时间积分方案中是不稳定的（不管结构常数的数量级如何）。

早些时候，当我说我的显式欧拉方案“似乎”是稳定的时。我意识到它有点不稳定。我使用了非常小的结构常数，使得特征值紧贴虚轴，实根大小更小，但仍然是正的。

回到我的第一个问题：FEM 是否缓解了其中一些提到的问题？第二个问题：是否有人对解决雅可比矩阵的特征值具有正实根的问题有洞察力？第三个问题：是否有任何推荐的方案来处理 FV 的线性弹性，而不会受到 EXPLICIT 方案的稳定性的严重限制？