我有一个朋友在 FEM 和混合 FEM 方面非常出色（我们的研究小组在 HDG 上工作——它是不可压缩流的无点散度），但不幸的是，他不在 SE 上。我会看看他是否有时间看看你的一些问题。我的天真（但有点受过教育）的观点是，这是某些网格的特定示例。

（在我开始之前，只是为了确保我们在同一页上，$\text{dim}(V_h)$将是物理空间的维度（例如，在二维中，2）乘以内部速度自由度（N）的数量 - 因为速度在边界上消失 - 乘以使用的多项式次数（在这种情况下，1） ，所以 2*N。$\text{dim}(Q_h)$将等于三角形的数量 (t) 减 1。我不确定这是否对我造成混淆，但想确定一下。）

首先，假设您有一个完整的列秩矩阵$A\in\mathbb{R}^{m\times n}$和$m>n$你想解决$Ax=0$. 很明显，这个问题的唯一解决方案是$x=0$. 自从$B_h$是一个线性算子，它有一个矩阵表示，比如说$\mathbb{B}$， 和$\mathbb{B}$是$\text{dim}(Q_h)$-经过-$\text{dim}(V_h)$. 如果$\text{dim}(Q_h)>\text{dim}(V_h)$然后$\mathbb{B}u = 0_{\text{dim}(Q_h)}$只有一种解决方案$u=0_{\text{dim}(V_h)}$.

的情况下$P_1-P_0$元素，如果你要构建一个分段线性连续无散度速度场，它可能最终几乎在所有地方都为零，因为它必须在边界上消失并且它的散度必须为零。我们可以通过计算约束来证明这一点（Brezzi-Fortin-Doffi 诉诸于平面图的著名欧拉恒等式，也请检查这个 math.SE 答案）。根据他们的说法，$u_h$过度约束（$\text{dim}(Q_h)>\text{dim}(V_h)$)，因此它必须是$u_h\equiv 0$. 如果您还检查示例 8.10.2（交叉网格$P_1-P_0$元素）上 pg.508（在我拥有的版本中），其中矩阵表示的行秩$B_h$小于其列数，因此$u_h$没有过度约束。虽然，显然，还有其他问题。