我正在编写 Chebyshev 伪谱方法（例如参见 John Boyd 的“ Chebsyhev 和傅里叶谱方法”）来求解以下形式的微分方程的特征值

$\left(a_2(x) \frac{d^2}{dx^2} + a_1(x)\frac{d}{dx} + a_0(x)\right)u - \lambda u = 0$

存在“常规”边界条件（即$u$边界上应该是规则的；请参阅下面的编辑）。使用切比雪夫伪谱方法，我可以将上述微分方程转换为矩阵特征值方程

$Mu=\lambda u$

我的问题是切比雪夫伪谱微分矩阵的条件很差，例如伪谱矩阵的条件数$d^2/dx^2$尺度为$N^4$， 在哪里$N$是搭配点的数量。这使得计算操作符的特征值$M$当我使用许多搭配点时数值不稳定，我需要使用许多点来正确解决快速振荡的特征函数$u$.

我可以应用一个预处理器矩阵$P$到$M$得到一个广义特征值方程

$PMu - \lambda Pu=0$

但我不确定这实际上会使特征值求解器更稳定。有谁知道应用预处理矩阵可以使计算特征值在数值上更加稳定？如果是这样，他们是否可以发布几个表明这是真的/提供一些例子的参考资料？

编辑：

• 我想考虑方程式$a_2(x)$可能会在边界处消失（参见第三个要点），因此有两种边界条件可供选择：“常规”和“不规则”边界条件。使用伪光谱方法的好处在于它们自然会选择“常规”解决方案。所有这一切都是说我想使用伪光谱方法来解决这个ODE。

• 对于切比雪夫伪谱方法，矩阵 M 通常不是自伴随或对称的，所以我不担心在系统中丢失该属性

• 功能$a_i(x)$我正在看的是相当复杂的，但大致它们采用的形式

$a_2(x) = x^2(1-x)$

$a_1(x) = c_0 + c_1x + c_2x^2 + c_3x^3$

$a_0(x) = d_0 + d_1x + d_2x^2$

系数$c_i,d_i$通常是复杂的（不是真实的）。

• 我不需要所有的特征函数，但我想要的不仅仅是前几个最低的。更糟糕的是，我想要有很高的准确度（比如相对误差$10^{-10}$左右），因此即使对于较低的特征模态，也需要有许多切比雪夫系数。