我需要帮助来了解如何使用算法给出的结果来构建正交多项式基础$L^{2}(X)$， 在哪里$X\subset\mathbb{R}^2$, 关于内积$(f,g) = \iint_X f(x,y)g(x,y)\,dxdy$. 我们表示。算法如下。$\mathcal{P}_{n} = \{\text{Polynomials }P(x,y): \text{ total degree of } P \leq n\}\subset L^{2}(X)$

对应的向量。规范化它。的标准正交基。$1$$\mathcal{P}_{0}$

个向量组成的的正交基。将这个基中的每个向量分别乘以和，并将得到的向量与的基中的向量一起放入具有列的矩阵中。计算矩阵的 SVD。SVD 产生矩阵列空间的标准正交基，它也是的标准正交基。$\mathcal{P}_{k}$$K$$x$$y$$\mathcal{P}_{k}$$3K$$\mathcal{P}_{k+1}$

(3)对应用步骤 (2) 中描述的过程，以获得的正交基。$k$$\{0, 1, \ldots , n − 1\}$$\mathcal{P}_n$

我的想法：需要实现一个 SVD，它使用关于给定内积的投影。另外，我假设给出了一个求积规则来计算内积。

问题： (1) 在步骤 (2) 中与 x 和 y 相乘是什么意思？SVD 不是象征性地执行的。我应该进行采样并乘以这些值吗？$X$

(2) 执行上面的算法，我如何使用结果来评估得到的正交多项式基在中的一点？我如何取这个基础的导数？$X$