我最近遇到了以下任务：

使用 von-Neumann 稳定性分析来研究的离散形式的稳定性。对一阶导数使用一阶前向有限差​​分，对二阶导数使用通常的中心差分格式。您可以使用符号。相应的网格尺寸在和方向上是相同的。网格尺寸有哪些限制？$\frac{\partial c}{\partial x} = \frac{\partial^2 c}{\partial y^2}$$c_{i, j} = c(ih, jh)$$h$$x$$y$$h$

提示：向量 ,是二阶导数的有限差分表达式的特征向量。相应的特征值由给出。$f_k(jh) = \sin(k \pi x)$$j = 0, \dots, N$$\lambda_k = \frac{2}{h^2}(\cos(\pi kh) - 1)$

我完全糊涂了。我见过将冯诺依曼稳定性分析应用于一维热方程的经典例子，它是很简单。但是，此任务要求将此分析应用于固定问题，因此我不确定如何定义放大因子。它应该只是吗？其次，现在是二维的，我不知道如何将这个事实融入到方法中。最后，我对这个提示感到困惑：我既不了解它的说明，也不了解如何使用它。$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$1$

我目前能做的就是离散化它：

那么在这种情况下如何正确执行分析呢？感谢你的帮助。