计算科学 - LWR-v PDE 的隐式有限差分格式 - 吾爱随笔录

我想离散化 LWR(Lighthill-Whitham-Richards)-v 偏微分方程（如图 1）在方程中是时间在截面处的速度，由 Greenshield 的速度给出-密度关系其中是流速度，是自由流速或区段内的最大速度。

\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial R (u)}{\partial x} = 0 i.e., \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{d R}{d u} \frac{\partial u}{\partial x} = 0 \dots \dots (1)

$\frac{\partial u}{\partial t} + \frac{\partial R(u)}{\partial x} = 0 \quad \text{i.e.,} \quad \frac{\partial u}{\partial t} + \frac{dR}{du}\,\frac{\partial u}{\partial x} = 0 \quad \dots\dots \quad \text{(1)}$

u (x, t) \equiv u_{x}^{t}

$u(x,t) \equiv u_x^t$

t

$t$

x

$x$

R (u)

$R(u)$

R (u) = u^{2} - u u_{f} ⟹ \frac{d R}{d u} = 2 u - u_{f} =: a (u)

$R(u) = u^2 - u\,u_f \quad \implies \quad \frac{dR}{du} = 2u - u_f =: a(u)$

u

$u$

u_{f}

$u_f$

我想使用隐式有限差分方案（后向时间，后向空间如（2）所示来离散方程（1）：

\frac{u_{x}^{t + 1} - u_{x}^{t}}{Δ t} + a (u_{x}^{t + 1}) \frac{u_{x}^{t + 1} - u_{x - 1}^{t + 1}}{Δ x} = 0 \dots \dots (2)

$\frac{u_x^{t+1}-u_x^t}{\Delta t} + a(u_x^{t+1})\,\frac{u_x^{t+1}-u_{x-1}^{t+1}}{\Delta x} = 0 \quad \dots\dots \quad \text{(2)}$

在文献中，我可以单独找到显式方案的解决方案，例如迎风方案、顺风方案、Godunov 方案等。对于上面等式 (2) 中显示的隐式情况，任何人都可以提出一个好的离散化方案或文献中的一些参考资料吗？

谢谢您的帮助！