非线性常微分方程 (ODE) 的解空间通常包含一个不稳定的分离线,因为附近的解与它呈指数级偏离。例如,非线性贝塞尔方程,
f''[x] + f'[x]/x +f[x](1 – f[x]^2) == 0
有这种行为,分离线满足f[0] = 0, f[∞] = 1。哪些算法适用于计算非线性 ODE 中从零到较大自变量值的不稳定分离线?
非线性常微分方程 (ODE) 的解空间通常包含一个不稳定的分离线,因为附近的解与它呈指数级偏离。例如,非线性贝塞尔方程,
f''[x] + f'[x]/x +f[x](1 – f[x]^2) == 0
有这种行为,分离线满足f[0] = 0, f[∞] = 1。哪些算法适用于计算非线性 ODE 中从零到较大自变量值的不稳定分离线?
有一些,它们最通常依赖于设置边界值问题。您可以在 AUTO 延续包和为其提供(部分)前端的 XPP 包中找到这些解决方案。但是,您仍然需要了解如何设置它,因为它不是一个自动化过程。我相信包含该应用程序的那些软件包有教程。
或者,我自己的包PyDSTool用于动态系统分析,并附带一个原型(有点幼稚)工具来计算分离曲线——事实上,任何几何上简单的围绕固定点的子流形。此处以图形方式详细描述。它使用拍摄方法。使用我的包的 PyCont 子包(内部使用 AUTO)实现了类似的计算,在此处进行了描述。
但是,如果您需要覆盖一个非常大的自变量域,除非其几何形状保持相对“简单”,否则拍摄方法将更加困难。例如,它不会缠结或挤在其他子歧管附近。不过,这应该是进一步分析的良好起点。