给定一个细化因子为 2 的块结构网格，在细化边界附近离散化拉普拉斯算子的常用方法有哪些？另见下图，其中$u_H$和$u_h$用给定的索引指示粗略和精细值。我对计算特别感兴趣$\nabla^2 u$在边界的“精细”一侧。

理想情况下，我希望使用尽可能小的模板进行二阶精度的离散化。保守的离散化也很有价值，这意味着“通量”$\nabla u$在边界匹配的细边和粗边上。