判断信息丢失的方法有多种。最简单的方法是计算所谓的稀疏矩阵的 Frobenius 范数$\hat A$和一个原始的密集矩阵。

$||A||_F=\sqrt{\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}|a_{ij}|^2}$

Frobenius 范数中的相对误差可以告诉您相对下降了多少：

$\text{Error}_F=\frac{||A-\hat A||_F}{||A||_F}$

此外，Frobenius 范数与矩阵的光谱特性有很好的联系，这可能很有用：$||A||_2\leq||A||_F$.

然而，仅仅判断“元素方面”并不是很好，只是简单地将所谓的小块和无关紧要的块归零。我将从绘制原始矩阵的奇异值开始，并将它们与近似值进行比较。这将允许您判断您是如何更改频谱属性的。

最后，我建议您查看各种允许快速矩阵代数进行类似近似的技术，例如$\mathcal H$-矩阵（http://www.hmatrix.org/）、HSS（分层半可分离）等，而不是仅仅将矩阵条目降低到某个阈值以下。但是，对于您的应用程序，您的方法可能足够准确。

您正在扰乱初始系统。如果你想解决系统$Au=f$

通过扰乱你解决的系统

$(A+\Delta A)(u+\Delta u)=f$

因此，

$\Delta A \Delta u= f$

$\Delta u= \Delta A^{-1} f$

对于一个次乘范数$||$ $||$

$|| \Delta u||=||\Delta A^{-1} f||$

$||\Delta u||<||\Delta A^{-1}||$ $|| f||$

范数可以给出扰动影响的上限。