我目前正在开发一个程序来使用 V 循环多重网格解决方形板上的 2D 瞬态热传导。虽然我的程序能够达到稳态解，但它的计算时间比使用 Gauss-seidel 方法运行问题要长。

问题案例：0.1 m x 0.1 m 的方形板，温度固定。顶部：20°C，其他三边为 40°C。假设材料属性恒定，不产生内部热量，且网格长度相等$\Delta x=\Delta y$.

参数：热扩散（$\alpha=23.1\times 10^{-6}$) （现在使用钢作为指导），$\Delta t=0.01$

方法：隐式有限差分法。

$$T_2(i,j)=\frac{T_1 + F_O (T_2 (i-1, j) + T_2(i+1, j) + T_2(i, j+1) + T_2(i,j-1)}{1 + 4 F_O}$$

在哪里$F_O$是傅立叶数$\alpha \Delta t/ \Delta x^2$.

• 第 1 步：预平滑 - 使用上面显示的隐式有限差分法。该问题通过 2 个红黑高斯赛德尔周期平滑。

• 第 2 步：计算残差 - 使用计算残差

$$\operatorname{res}=\frac{T_1 + F_O [T_2(i-1,j) + T_2(i+1,j) + T_2(i,j+1) + T_2(i, j-1)]}{1 + 4 F_O} - T_2(i,j)$$

• 步骤 3：使用全权重限制残差

• 第 4 步：求解残差方程，误差的初始猜测为零。我通过使用解决它

  $$\operatorname{error}(i,j)= \frac{\operatorname{res}(i,j) + F_O [\operatorname{error} (i-1,j) + \operatorname{error}(i+1,j) + \operatorname{error}(i,j-1)+ \operatorname{error}(i,j+1)]}{1 + 4 F_O}$$

我不确定我是否使用正确的方程来求解残差方程并且随着网格尺寸的减小$\Delta x$因此将增加傅立叶数 ($F_O$） 会改变 。所以我相信这可能是我的程序的问题，但我不确定，因为没有很多关于此的信息。（我一直在寻找几个星期）。我将非常感谢你们的帮助。如果有人需要任何其他信息，请发表评论。