计算科学 - 具有逐分量递增目标函数的笛卡尔积的离散优化 - 吾爱随笔录

设置如下：

我们有 $K$ 有限实数集，

即集 $G_i, i=1 \dotsc, K$ 和 $|G_i| = n_i < \infty$ .

此外，假设我们有一个函数

h : R^{K} \to R

$h: \mathbb R^K \to \mathbb R$

在每个分量中都是单调递增的。

同样，还有另一个功能

g : R^{K} \to R

$g: \mathbb R^K \to \mathbb R$ ，这不一定满足单调性条件。

我要解决的优化问题如下：

找

max_{(x_{1}, \dots, x_{K}) \in G_{1} \times \dots \times G_{K}} h (x_{1}, \dots, x_{K})

$\max_{(x_1,\dotsc,x_K) \in G_1 \times \dotsc \times G_K} h(x_1,\dotsc, x_K)$

受制于

g (x_{1}, \dots, x_{K}) \leq c

$g(x_1,\dotsc, x_K) \leq c$ ，在哪里

c

$c$ 是一个预先指定的常数。天真的方法采取

2 \prod_{i = 1}^{K} n_{i}

$2\prod_{i=1}^{K}n_i$ 功能评估（评估

h

$h$ ，检查条件定义为

g

$g$ ）。

我们可以通过使用组件单调性来改进多少 $h$ ? 如果我们也假设 $g$ 是否也在增加每个组件？