我对仅计算广义奇异值感兴趣，并且想知道这是否比计算完整的 GSVD 更快（以及多少？）。
特别是，我想知道计算广义奇异值的最快算法是什么（理想情况下是对而不仅仅是)，给定两个矩阵和， 在哪里是大小和是大小? 我还想知道这些算法的运行时间是多少， 和?
此外，是否有这些算法的任何实现？我知道 Matlab 有一个GSVD 函数，它只能计算奇异值，使用命令：
sigma = gsvd(A,B)
但是，我怀疑它的实现方式是否比使用命令执行完整的 GSVD 更快：
[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)
但是，也许我错了。在 Matlab（或另一种语言）中是否可能有一种方法来计算和， 并不是,， 和? 如果是这样，那将比计算完整的 GSVD 快多少？
任何/所有这些问题的答案都将不胜感激，甚至是相关的参考资料（因为我见过的大多数算法都计算完整的 GSVD，所以很难找到任何答案，这不是我想要的）。
根据http://www.nag.com/numeric/fl/manual/pdf/F08/f08msf.pdf，关于 NAG 库中复杂奇异值/奇异向量的 LAPACK 例程。（不是泛化的，但我认为泛化的想法基本相同。有关真正的 GSVD，请参见http://www.nag.com/numeric/fl/manual/pdf/F08/f08vaf.pdf和http://www。 nag.com/numeric/fl/manual/pdf/F08/f08vnf.pdf用于复杂的 GSVD，但他们没有讨论计算工作量/）
08MSF (CBDSQ/ZBDSQR) 计算已简化为双对角形式的复一般矩阵的奇异值分解。
...
F08MSF (CBDSQR / ZBDSQR) 使用两种不同的算法。如果需要任何奇异向量（即，如果 NCVT > 0 或 NRU > 0 或 NCC > 0），则使用双对角 QR 算法，在零位移和隐式位移形式之间切换以保持小奇异值的准确性，以及在 QR 和 QL 变体之间切换，以便有效地处理分级矩阵（参见 Demmel 和 Kahan（1990））。如果只需要奇异值（即，如果 NCVT = NRU = NCC = 0），则通过微分 qd 算法计算它们（参见 Fernando 和 Parlett (1994)），该算法速度更快，并且可以实现更高的精度。
...
如果仅计算奇异值，则实数浮点运算的总数大致与 n^2 成正比。计算左奇异向量需要大约 12 n^2 * nru 额外操作，计算右奇异向量需要大约 12 n^^2 * ncvt。计算奇异值的操作都必须在标量模式下执行；计算奇异向量的附加操作可以向量化，并且在某些机器上可以更快地执行。该例程的真正模拟是 F08MEF(SBDSQR/DBDSQR)。
请参阅 Demmel 和 Kahan 1990 年的“双对角矩阵的准确奇异值” http://www.netlib.org/lapack/lawnspdf/lawn03.pdf讨论为什么奇异值加向量比仅奇异值花费更长的时间。这是因为奇异向量比奇异值收敛得更慢。表 2 显示了在有和没有奇异向量的情况下比较的一些时序结果。
这是我在 8 核机器上使用 MATLAB R2014A WIN64 运行的一些快速计时结果”
>> n=4000;A=randn(n);B=randn(n);tic,sigma = gsvd(A,B);toc,tic,[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B);toc
Elapsed time is 31.649874 seconds.
Elapsed time is 33.202460 seconds.
其他一些运行给出了类似的结果，当第二次运行时，非奇异向量版本的速度仍然快了大约相同的数量（检查以防处理器过热并且不得不降低涡轮水平以进行第二次计算）。MATLAB 使用了多个内核。
n = 1000；非奇异向量版本的平均时间比奇异向量长约 8%。我不知道为什么。
我并不是说 A 和 B 的方阵 randn 代表您关心的问题，但您可以自己尝试 A 和 B。