计算科学 - 计算类型积分的快速方法∫dx f( x )因数( n πx )∫dxf(x)cos⁡(nπx) 在 SciPy 中 - 吾爱随笔录

计算类型积分的快速方法∫dx f( x )因数( n πx )∫dxf(x)cos⁡(nπx) 在 SciPy 中

计算科学正交 scipy 振荡傅里叶变换

2021-11-28 17:46:42

我有其中是整数。换句话说，我计算函数的余弦傅里叶系数，它在区间上是实数且连续的。我需要计算大量的大值。目前我只是这样做：

I (n) = \int_{0}^{1} d x f (x) \cos (n π x),

$I(n) = \int_0^1 dx f(x) \cos(n \pi x) ,$

n

$n$

f

$f$

n

$n$

iint = array([ integrate.quad(lambda x: f(x)*cos(n*pi*x), 0, 1, limit=1000)[0] for n in range(0,nlim) ])

其中通常是的数量级。我觉得这不是最好的方法。如何让我的计算更快？ $nlim$ $\sim 10^3$

3个回答

这是（复值）傅里叶变换的一部分，如果要计算零之间的至少一个重要部分的积分，则（可证明）没有比快速傅里叶变换 (FFT) 更有效的方法以及您关心的最大频率。 $n$

换句话说，虽然您的直觉可能会告诉您在大量点上评估函数可能是有效的，但在这种情况下直觉是错误的。

这和f(x)的傅里叶变换的实部不一样吗

\begin{aligned} I (n) & = \int_{0}^{1} d x f (x) \cos (n π x) \\ = ℜ \int_{0}^{1} d x f (x) e^{- j n π x} \\ = ℜ \int_{0}^{1} d x f (x) (c o s (n π x) - j \sin (n π x)) \\ = \int_{0}^{1} d x f (x) \cos (n π x) \end{aligned}

$\begin{align} I(n) &= \int^1_0dxf(x)\cos(n\pi x) \\ &=\Re{{\int^1_0dx f(x) e^{-j n \pi x}}} \\ &= \Re\int^1_0dx f(x) (cos(n\pi x) - j\sin(n \pi x)) \\ &= \int^1_0dxf(x)\cos(n\pi x) \end{align}$

如果 $f$ 很不错，然后你可以近似 $f$ 使用一系列分段多项式并在结果区间上精确积分。这可能比使用 FFT 便宜得多。这也适用于近似值 $f$ 通过您可以轻松知道或确定每个区间中的确切反导数的任何函数。如果 $f$ 是一个黑匣子，那么您将使用此方法遇到更多麻烦。

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