分布式向量空间和矩阵存储格式

PETSc 向量分布在通信器中，每个进程拥有一个连续的行块。最常见的情况是所有部件的尺寸相同，但这不是必需的。的任何分区$N$进入$P$连续标记的部分的连续部分（有些可能是空的）是有效的。该类Mat表示两个有限维向量空间之间的线性变换，$A: X \to Y$. 空间$X$和$Y$可能不同（甚至不同的大小），尽管 Krylov 方法和大多数线性求解器都要求$X = Y$. 有一些例程可以查看当前进程的所有权范围：

• VecGetOwnershipRange(x,&start,&end)返回任何向量的拥有条目范围$x$.
• MatGetOwnershipRangeColumn(A,&cstart,&cend)返回域的拥有部分$X$.
• MatGetOwnershipRange(A,&rstart,&rend)返回范围的拥有部分$Y$.

PETScMPI*AIJ矩阵使用的存储格式根据范围空间的所有权分配条目$Y$. 在这个模型中，一般有一些域的条目$X$影响拥有的部分$Y$. 准确地说，让$X_i \subset X$成为域空间的一部分$X$由进程拥有（MPI 等级）$i$同样对于$Y_i \subset Y$. rank 拥有的矩阵的“对角块”$i$正是效果$X_i$在$Y_i$. 进行乘法运算时，向量中的部分$X_i$在本地可用，无需任何通信。“非对角块”表示效果$X \setminus X_i$在$Y_i$, 不能在没有通信条目的情况下应用。操作$y \gets A x$计算为

1. 开始交流进程外条目$x$到$x_i^{\text{off}}$.
2. 应用矩阵的对角块$y_i \gets A_i^{\text{diag}} x_i$.
3. 完成进程外条目的通信。
4. 添加非对角块的动作$y_i \gets y_i + A_i^{\text{off}} x_i^{\text{off}}$

在几何上，非对角线部分对应于“鬼点”对子域的影响。

预分配

由于对角线部分$A_i^{\text{diag}}$分开存放$A_i^{\text{off}}$，我们需要单独的预分配信息来避免动态数据结构。这可以通过提供一个参数来指示任何行中的最大非零数 ( *_nz) 或通过提供一个指示每行中非零数的数组 ( *_nnz) 来完成。请注意，对应于“内部”点的行在非对角线部分通常没有非零条目。

至于ex2.c，矩阵的每行确实不超过 5 个非零，其中至少有一个（对角线条目）必须落在对角线块中。因此，它本来可以安全通过o_nz=4。请注意，此极端情况o_nz=4仅在此示例中针对单点子域实现。

如果您拆分矩阵，以便将其跨 MPI 程序中的进程存储（例如，矩阵是$N\times N$，我们有$M$处理器），我的理解是 PETSc 以这样一种方式存储它，即每个处理器都存储一个表示对角块的矩阵（大小$N/M \times N/M$) 和一个代表其他条目的$N/M$存储在本地处理器上的矩阵行。这样做是因为每个处理器都存储$N/M$向量的条目，并且执行 matvec 操作是最简单的，如果您可以使用本地存储的矩阵部分对矩阵的对角块执行 matvec，然后使用本地存储的剩余矩阵条目修复其余部分，然后从其他处理器导入的向量条目。

鉴于这种存储方案，我相信您预先分配的对角线和非对角线矩阵条目对应于对角线$N/M \times N/M$矩阵和$N/M \times N-N/M$剩余块。