计算科学 - 多元正交多项式生成 - 吾爱随笔录

计算科学算法高维多项式

2021-12-14 22:12:33

我正在尝试将随机伽辽金方法应用于具有多个均匀随机系数的偏微分方程。我对如何将相应的正交（传奇）多项式基础扩展到更高维度感到困惑。有没有系统的方法来做到这一点？

是否有一篇论文/书讨论了一种将正交多项式（hermite、laguerre、jacobi...）生成到更高维空间中的算法（ $d\ge 2$ ) ?

1个回答

假设你知道一维的正交多项式基 $(x)$ 每个学位的 $i$ 达到某个所需的顺序 $K$ . 也就是说，我们知道

p_{0} (x), p_{1} (x), . . . p_{i} (x), . . ., p_{K} (x)

$p_0(x),p_1(x),...p_i(x),...,p_K(x)$

将其扩展到二维 $(x,y)$ , 我们只需要考虑 (x) 和 (y) 中的一维多项式之间的乘积，并且只收集总度数小于或等于的乘积 $K$ . 也就是说，我们收集术语 $p_i(x)\cdot p_j(y)$ 如果 $i+j\leq K$ .

将其进一步扩展到任意维度 $d$ , 在每个方向上简单地创建一维正交多项式基 $1,2,...d$ . 然后，为了获得多维基函数，收集这些基的互积

p_{i_{1}} (x_{1}) \cdot p_{i_{2}} (x_{2}) \cdot . . . \cdot p_{i_{d}} (x_{d})

$p_{i_1}(x_1)\cdot p_{i_2}(x_2)\cdot ... \cdot p_{i_d}(x_d)$

这样 $i_1+i_2+...i_d\leq K$ .

其它你可能感兴趣的问题