计算科学 - 向内和向外求解径向方程？ - 吾爱随笔录

计算科学量子力学

2021-12-18 11:02:10

我们有薛定谔方程

(- Δ + V (r)) R (r) = E R (r)

$\begin{equation}(−\Delta+V(r))R(r)=E R(r)\end{equation}$

其中我们可以以为开始，我们对约化径向函数施加边界条件。 $V(r)=-k/r$ $u(r)=r R(r)$ $u(0)=u(\infty)=0$

问题是：

数值求解径向方程的向内和向外，并通过在某个中间点施加 wronskian 的消失来确定本征能量。

如何进行？

1) 解决“向内和向外”是什么意思，“在某个中间点强加 wronskian 的消失”对我们意味着什么？

2）我应该使用什么数值方法？Numerov 方法可能不适用，对吧？

2个回答

要进行数值求解，您可以在有限区间上使用 MATLAB 或 GNU Octave 中的有限差分。方程中的拉普拉斯只是二阶导数。如果您使用二阶对称差分，您将得到模板如果你离散化左边的另一个项（对角矩阵），你将得到一个矩阵特征值问题，如果形式不要忘记考虑边界条件。 $\Delta$ $R''$

y_{i}^{″} = \frac{- y_{i - 1} + 2 y_{i} - y_{i + 1}}{h^{2}} .

$y''_i=\frac{-y_{i-1}+2y_{i}-y_{i+1}}{h^2}\,.$

A y_{h} = λ y_{h} .

$Ay_h=\lambda y_h\,.$

对不起，但我不知道如何在无限的时间间隔内做到这一点。您可以在有限区间上使用变换，例如，例如 $(0,1)$

z = \frac{x}{1 - x} .

$z=\frac{x}{1-x}\,.$

提示：在 ODE 的理论中，Wronskian 是基本矩阵的行列式。 $\Phi$

这就是同时让我找到解决方案的原因：

1）“向内和向外求解”仅表示对上述微分方程进行数值积分：

从一些小的向外到一些（在我们的例子中合适的 BC：例如） $r_1$ $r_2>r_1$ $u_{out}(r_1)=r_1, u_{out}'(r_1)=1$

和

从一些较大的向内回到（合适的 BC 例如：，正如我们预期的指数衰减） $r_3>r_2$ $r_2$ $u_{in}(r_3)= e^{-\sqrt{E} r_3}, u_{in}'(r_3) = -\sqrt{E} u(r_3)$

2) 如果 wronskian

W (E) := u_{o u t}^{'} (r_{2}) u_{i n} (r_{2}) - u_{o u t} (r_{2}) u_{i n}^{'} (r_{2})

$W(E):=u_{out}'(r_2) u_{in}(r_2) - u_{out}(r_2) u_{in}'(r_2)$

在点消失，这意味着这两个解是线性相关的，我们得到了我们正在寻找的能量特征值（我们必须找到函数 W(E)=0 的根）。我们期望指数衰减, $r_2$ $E$

3) 例如，在 Mathematica 中，求解和方程的“ImplicitRungeKutta”方法，即似乎很合适。 $u_{out}$ $u_{in}$

- u^{″} (r) - u (r) / r = - E u (r)

$-u''(r) - u(r)/r= -E u(r)$

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