我试图理解一维$L^2$-使用二次基函数的投影。使用 3 个数据点和拉格朗日多项式很容易看出如何写出 3 个基函数。使用线性基的帽子函数，很容易看出如何扩展函数。帽子函数类似于 delta 函数。对于二次基，我无法为基函数写出明确的表达式，因为在同一区间内有三个函数。（图 8.36：https ://people.fh-landshut.de/~maurer/femeth/node265.html#SHP3 ）。

我要做的下一步是构建所谓的“质量矩阵”。有没有办法像帽子函数一样可视化二次基础？一旦已知基函数，就可以通过查看基函数之间的重叠，即 L2 内积来计算质量矩阵元素。

提前感谢，任何建议或意见表示赞赏。

线性帽函数的质量矩阵结构（x 表示非零条目）：

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此信息基于以下已接受的答案，它为弄清楚这一点提供了很好的参考。

具有二次基函数的质量矩阵的结构：