计算科学 - 如何正确使用多项式投影来获取可视化节点的值？ - 吾爱随笔录

计算科学插值多项式不连续-galerkin 投影

2021-12-19 06:53:48

我正在尝试为线性和非线性方程组实现节点不连续 Galerkin 谱元方法。每个时间步的解在N节点处给出，这些节点位于 Legendre-Gauss/Legendre-Gauss-Lobatto 正交的积分点处。

出于可视化目的，我想在M等距可视化节点处获得解决方案，通常是M > N. 据我所知，通常 L2 投影优于多项式插值（尽管成本更高），尤其是在更高自由度的情况下，因为投影给出了 L2 范数的最佳近似值。

据我了解，这是我必须采取的步骤的粗略概述：

最后，我的问题：

a) 这种方法通常正确吗？
b）是否有针对我的具体问题的算法简化，例如
- 的反演V是微不足道的，因为我可以使用所用多项式（Legendre）或节点（L-Gauss/L-Gauss-Lobatto）的一些属性？
- 整个算法可以简化，因为我已经从多项式近似开始，而不是任意精确函数？

任何建议或指向进一步阅读材料的建议都非常感谢。

编辑：

我使用拉格朗日基函数进行计算，GL/LGL 节点仅用于数值积分。因此，在我想在新节点上获得解决方案时，我没有关于解决方案的任何信息，而是旧节点上的值。

2个回答

你想在这里插值，而不是执行 $L^2$ 投影。您希望DG 解决方案在等间距节点上的价值。在任何情况下 $L^2$ 投影只会反馈你开始使用的多项式（记住，它最小化 $L^2$ 错误..如果您已经是多项式，那么您将无法做得更好）。

这是您需要计算的矩阵

然后给出一个解向量 $\mathbf{u}$ 插值看起来像

u_{e q} = V_{e q} V^{- 1} u

$\mathbf{u}_{eq} = \mathbf{V}_{eq} \mathbf{V}^{-1} \mathbf{u}$

所有这一切都假设您不直接使用拉格朗日多项式基础进行计算，而是使用像勒让德多项式这样的正交基础，因此您的 Vandermondes 将是

V_{i j} = P_{j} (x_{i})

$\mathbf{V}_{ij} = P_j(x_i)$

在您用于计算的任何基础上。

编辑：再读一遍不清楚您是要可视化计算的 DG 解决方案还是解析解决方案（或初始条件）。在后一种情况下，仍然使用插值。这要容易得多，而且您不会注意到可视化中的准确性差异。不过，我会将其保留在 LGL 节点上，然后对插值多项式进行采样以进行可视化。

在我的代码中，当我得到 FE 解决方案时 $f(x)$ 作为基函数的线性组合 $\phi_i(x)$ ：

f (x) = \sum_{i} q_{i} ϕ_{i} (x)

$f(x) = \sum_i q_i \phi_i(x)$ 我可以随时 轻松评估它

x_{0}

$x_0$ 通过评估此时的基函数（

ϕ_{i} (x_{0})

$\phi_i(x_0)$ ) 并进行线性组合：

f (x_{0}) = \sum_{i} q_{i} ϕ_{i} (x_{0})

$f(x_0) = \sum_i q_i \phi_i(x_0)$

我也使用这种方法将解决方案转移到正交点（以防它们与节点不同）。显然，光谱元素的优点之一是使用相同的点作为节点和正交点，然后不必这样做——但你仍然需要这个来绘图（如你所问），但同样，很多次我为自己省去了麻烦，只在节点上绘制了值，这通常让我很好地了解解决方案的外观。

其它你可能感兴趣的问题