计算科学 - 我们可以使用（轻微的）密度变化来模拟不可压缩流动以产生压力吗？ - 吾爱随笔录

我们可以使用（轻微的）密度变化来模拟不可压缩流动以产生压力吗？

计算科学流体动力学纳维斯托克斯不可压缩

2021-11-28 05:42:57

一种常见的方法是，不可压缩流的速度散度为 0；用它来求解 Navier Stokes 动量方程中的压力。或者，使用亥姆霍兹分解“投影”速度场的零散度分量。

相反，我们可以将正/负散度视为膨胀/压缩，并从气体方程中获得压力吗？这似乎很简单，复制了大自然的做法。（类似于浅水方程，水的深度直接给出静水压力）。

是不是太天真了？在效率/准确性/稳定性方面比解决问题更糟糕？但我根本没有看到它讨论过 - 它可能在某些情况下效果很好（尽管不是大部分 cfd 似乎起源的工程/太阳物理学应用程序）。我很好奇。

到目前为止我的理解：不可压缩的流动不需要流体是不可压缩的。例如，空气是可压缩的，但可以视为不可压缩的流动。这要求流体中的速度的幅度远小于流体中的声速（压力波）。声速并不直接导致不可压缩性，而是表明流体的硬度；弹性对压力的反应强度。流体速度与声速之比为马赫数 ；柯西数是，是“流动中惯性力和压缩力（弹性力）之间的比率” $M$ $M^2$ . 所以我认为：如果压力比流体本身传递得更快，我们就会得到“不可压缩的流动”。

顺便说一句：我主要研究计算机动画的 cfd，所以我可能遗漏了很多。

1个回答

水（和其他被认为不可压缩的流体）在现实中当然是可压缩的——只是在我们正在建模的流动所涉及的压力和速度下，压缩程度并不高。在我们考虑的压力范围内，一个很好的近似值是

ρ = ρ_{0} (1 + α p)

$\rho = \rho_0 (1+\alpha p)$ 在哪里

ρ_{0}

$\rho_0$ 是参考压力下的参考密度，

p

$p$ 由流动引起的动态压力，和

α

$\alpha$ 可压缩性。

当我们说流体不可压缩时，实际上我们的意思是 $\alpha p$ （对于典型压力）仅远小于 1，因此可以忽略不计。换句话说，质量守恒方程

\partial_{t} ρ + \nabla \cdot (ρ u) = 0

$\partial_t \rho + \nabla \cdot (\rho \mathbf u) = 0$ 很好地近似于

\nabla \cdot u = 0.

$\nabla \cdot \mathbf u = 0.$ 但是，因为在我们考虑的范围内，

ρ

$\rho$ 和

p

$p$ 是线性相关的，我们可以在方程中选择一个或另一个。换句话说，如果你真的想，你可以把 Navier-Stokes 方程写成

\partial_{t} u + u \cdot \nabla u - ν Δ u + \frac{1}{α ρ_{0}} \nabla ρ = 0, \nabla \cdot u = 0,

$\partial_t \mathbf u + \mathbf u \cdot \nabla \mathbf u - \nu \Delta \mathbf u + \frac{1}{\alpha\rho_0} \nabla \rho = 0, \\ \nabla \cdot \mathbf u = 0,$ 因此以速度和密度为主要变量。这将是不常见的，但同样有效。然后，您将根据密度计算压力，而不是相反。为方便起见，我们只是在 Navier-Stokes 方程的通常公式中选择压力，因为它清楚地表明压力——不是密度的倍数——是不可压缩性的拉格朗日乘数。但两种说法都是合理的。

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