这是对结果的一般外观的最直观的解释。只考虑原件的右半部分$y$范围（另一半与此处发生的情况有关零对称）。

价值观在哪里结束？哪些值接近 1？为 0？

显然，从检查$\cos$功能，小$y$值将变为接近的值$1$, 而值$y$靠近$\pi$映射到附近$-1$和附近的值$\pi/2$映射到附近$0$.

靠近$y=\pi/2$这$\cos$函数几乎是线性的，因此是均匀分布的$Y$变换后值将保持几乎一致（只是几乎线性地重新缩放 - 在这种情况下，它在此附近接近的线性变换会翻转值并将它们移动）。

靠近$y=0$这$\cos$函数几乎是二次的，$\text{cos}\, y \approx 1-y^2/2$. 那么会发生什么$y$介于 0 和$\varepsilon$对于小$\varepsilon$?

它们被映射到之间的值$1-\varepsilon^2/2$和$1$. 所以他们聚集在一个大约$\varepsilon/2$和他们来自哪里一样大。所以它必须得到（平均）$2/\varepsilon$那里的密度是那里的两倍——一个很大的数字。

例如，介于 0 和 0.01 之间的值大致介于 1-0.00005 和 1 之间。因此它们被压缩到空间的二分之一，因此需要平均 200 倍的密度，并且越靠近它就越大。

有类似的效果$y$值接近$\pi$但他们映射到附近$-1$.

所以整体外观直观清晰 - 密度应该在零附近看起来平坦并显着增加 - 实际上，在端点附近没有限制。

（注意$\text{sin}(\text{cos}^{−1}y) = \sqrt{1-y^2}$这里。这不会影响上面关于为什么它必须看起来像这样的直观解释，但如果您尝试使用通常的代数方法来计算变换变量的密度，这很有用。）