为简单起见，让我们假设我们正在谈论一些非常简单的内核，比如三角内核：

$$K(x) = \begin{cases} 1 - |x| & \text{if } x \in [-1, 1] \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

回想一下，在用于估计密度的核密度估计中，我们结合了以点核：$\hat f_h$$n$$h$$x_i$

$$\hat{f}_h(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big)$$

注意我们的意思是我们想用因子重新缩放一些与点的差异。大多数内核（不包括高斯）都限制在范围外的点，它们将返回等于零的密度。换句话说，是内核的尺度参数，它的范围从更改为。$\frac{x-x_i}{h}$$x$$x_i$$h$$(-1, 1)$$(x_i-h, x_i+h)$$h$$(-1, 1)$$(-h, h)$

这在下图中进行了说明，其中点用于估计具有不同带宽的内核密度（顶部的彩色点标记各个值，彩色线是内核，灰线是整体内核估计）。如您所见，使内核变窄，而使它们变宽。更改会影响单个内核和最终内核密度估计，因为它是单个内核的混合分布。更高使核密度估计更平滑，而随着变小，它导致核更接近单个数据点，并且随着$n=7$$h$$h < 1$$h > 1$$h$$h$$h$$h \rightarrow 0$你最终会得到一堆点为中心的Direc delta 函数。$x_i$

以及生成绘图的 R 代码：

set.seed(123)
n <- 7
x <- rnorm(n, sd = 3)

K <- function(x) ifelse(x >= -1 & x <= 1, 1 - abs(x), 0)

kde <- function(x, data, h, K) {
  n <- length(data)
  out <- outer(x, data, function(xi,yi) K((xi-yi)/h))
  rowSums(out)/(n*h)
} 

xx = seq(-8, 8, by = 0.001)
for (h in c(0.5, 1, 1.5, 2)) {
  plot(NA, xlim = c(-4, 8), ylim = c(0, 0.5), xlab = "", ylab = "",
       main = paste0("h = ", h))
  for (i in 1:n) {
    lines(xx, K((xx-x[i])/h)/n, type = "l", col = rainbow(n)[i])
    rug(x[i], lwd = 2, col = rainbow(n)[i], side = 3, ticksize = 0.075)
  }
  lines(xx, kde(xx, x, h, K), col = "darkgray")
}

有关更多详细信息，您可以查看 Silverman (1986) 和 Wand & Jones (1995) 的精彩介绍性书籍。

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西尔弗曼，BW (1986)。用于统计和数据分析的密度估计。CRC/查普曼和霍尔。

Wand, MP 和 Jones, MC (1995)。内核平滑。伦敦：查普曼和霍尔/CRC。