机器算法验证 - 证明镨(一个n) = 1⟹镨(⋂n一个n) = 1Pr(An)=1⟹Pr(⋂nAn)=1 - 吾爱随笔录

证明镨(一个n) = 1⟹镨(⋂n一个n) = 1Pr(An)=1⟹Pr(⋂nAn)=1

机器算法验证可能性

2022-03-29 15:13:35

从上面的问题，我打算证明。在我看来，我认为我应该在概率之外取与极限的交集，这样我们就剩下 n的初始部分。这是一个正确的断言吗？ $P(A$ $)$ $=1$

1个回答

这比你想象的要容易。我们有这意味着，对于所有。回想一下，对于概率度量，我们有可数的子可加性（也称为布尔不等式），即 $\Pr(A_n)=1$ $\Pr(A_n^c)=1-\Pr(A_n)=0$ $n \geq 1$

Pr (⋃_{n = 1}^{\infty} B_{n}) \leq \sum_{i = 1}^{\infty} Pr (B_{n})

$\Pr\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} B_n \right) \leq \sum_{i=1}^{\infty} \Pr(B_n)$

对于任何（可测量的）事件。因此，根据德摩根定律，我们有 $B_1, B_2, \ldots$

Pr (⋂_{n = 1}^{\infty} A_{n}) = 1 - Pr (⋃_{n}^{\infty} A_{n}^{c}) \geq 1 - \sum_{n = 1}^{\infty} Pr (A_{n}^{c}) = 1

$\Pr\left( \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n \right) = 1-\Pr\left( \bigcup_{n}^{\infty} A_n^{c} \right) \geq 1- \sum_{n=1}^{\infty} \Pr \left( A_n^c\right) = 1$

就这样。

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