首先是关于方差 - 协方差和 se 关系的问题：方差 - 协方差矩阵是一个对称矩阵，它在非对角线元素上包含模型中所有 beta 之间的协方差。主对角线元素包含每个 beta 的方差。如果你取主对角线条目的平方根，你会得到你的 beta 的标准误差。

现在到豪斯曼。
由于随机效应是数据内部和之间变化的矩阵加权平均值，因此它比仅利用内部变化的固定效应估计器更有效（即具有更低的方差）。如果要测试两个模型之间的差异，可以将测试统计量写为

$$H = (\beta_{FE}-\beta_{RE})'[Var(\beta_{FE})-Var(\beta_{RE})]^{-1}(\beta_{FE}-\beta_{RE})$$

鉴于 RE 更有效，方差的差异是肯定的——或者至少应该是肯定的。如果您在两个回归中使用不同的方差估计量，那么$H$也可能是负面的。这通常是模型未指定的标志，但这是一个棘手的讨论，因为可能存在测试统计量可能为负的其他实例。为简单起见，我们暂时不考虑这些。

如果您现在增加样本量，您正确地说您的估计器变得更有效率。最后$[Var(\beta_{FE})-Var(\beta_{RE})]^{-1}$变小。请注意，此差异是分数的分母，因此分母越小分数越大。

如果我们考虑您对单个变量感兴趣的情况（称之为$k$） 只要。在这种情况下，检验统计量可以写为

$$H =\frac{(\beta_{FE,k}-\beta_{RE,k})}{\sqrt{[se(\beta_{FE,k})^{2}-se(\beta_{RE,k})^{2}]}}$$

为了给出一个数值示例，让我们首先从小样本开始。假设系数差为 100，它们在 FE 和 RE 中的标准误差分别为 10 和 5：

$$H_{small} =\frac{(100)}{\sqrt{[10^{2}-5^{2}]}} = 11.547$$

然后你增加样本量并假设标准误差减少了一半：

$$H_{large} =\frac{(100)}{\sqrt{[5^{2}-2.5^{2}]}} = 23.094$$ 现在您看到了对于更大的样本，检验统计量如何变得更大（由于较小的标准误差，分母的大小会减小）。矩阵表示法中检验统计量的直觉是相同的。