这两个问题本质上都是中心极限定理的应用，它（非正式地）说“随着样本数量的增加，来自一个共同群体的许多样本的总和值将趋于正态分布”。

这两个问题在他们处理的数据类型上有所不同。“xbar”问题涉及温度，它是一个连续测量值（例如十进制数）。“phat”问题隐含地涉及二元测量（真/假，例如每个学生要么投资，要么不投资）。

通常随机变量的测量值表示为$x$. 对于随机样本 $x_1,\ldots,x_N$样本均值将表示为$\bar{x}=\frac{1}{N}\sum_ix_i$. 这直接适用于“xbar”问题。这里每$x_i$是温度测量，问题是关于采样分布$\bar{x}$. （这出现在$\bar{x}$在不同的样本上计算多次，每个样本的大小$N$）。

对于“phat”问题，表示法和逻辑与此一致，但联系要复杂一些。在这种情况下，每个$x_i$将对应于一个学生，他要么投资（$x=1$) 或不 ($x=0$）。学生投资的概率通常表示为$p$($=30\%$在这种情况下）。这些约定$\Pr[\text{true}]=p$和$\{\text{true,false}\}=\{1,0\}$是二元随机变量情况的标准。

现在想象我们不知道$p$，但希望从学生的随机样本中估计$x_1,\ldots,x_N$. 对于单个学生，期望值为$x_i$是$p$, 表示$\mathbb{E}[x]=p$（另见此处）。同样，根据期望的性质，对于我们有的样本$\mathbb{E}[\bar{x}]=p$. 所以这里的样本均值$\bar{x}$提供总体参数的估计值$p$. 在统计学中，标准做法是使用“帽子”来表示总体参数的估计值，因此在这里我们将样本均值表示为是有意义的$\hat{p}$.

（对于“xbar”问题，可比较的符号是$\bar{x}=\hat{\mu}$， 因为$x$是正常的，而不是伯努利。）

下面一个可能是一个方便的提示。该图像清楚地区分了样本均值和样本比例。

资源

来源信息：UF Biostatistics 开放学习教材，模块 9，样本均值的抽样分布（以防将来链接失效）