我首先要指出的是，实际上负二项式的色散参数有很多不同的估计量，而且我在这里的讨论受到我熟悉的那些估计量的限制。要回答您的问题：

在最大似然情况下——答案是肯定的。对于其他情况，答案可能是否定的。我将从讨论最大似然情况开始。不难看出，最大似然估计$\psi$将取决于$\mu$. 只取关于的一阶导数$\psi$并注意，即使一阶导数在零处没有封闭形式的解，它的值仍然取决于$\mu$.

另一种可以估计的方法$\psi$称为条件最大似然。iid Negative Binomial 数据的总和也是负二项式。可以进一步证明，总和是一个充分的统计量$\mu$这样我们就可以形成一个精确的条件似然$\psi$独立的价值$\mu$. 有关详细信息，请参阅第 4 节：

http://biostatistics.oxfordjournals.org/content/9/2/321.full.pdf+html

条件最大似然估计已被证明比最大似然估计偏差更小，而最大似然低估了真实离散度。这在直觉上是有道理的，因为就像在正常情况下一样，离散参数的最大似然估计取决于估计的均值，但没有进行调整以纠正均值是根据相同数据估计的事实。

因此，我建议在小样本问题中使用条件最大似然而不是 MLE，或者在最大似然估计上搜索一些偏差校正技术。但是对于大样本，您也可以使用最大似然估计，因为它不会产生太大的影响。

我想我通过查看 Fisher 信息矩阵的非对角线找到了答案。

$P(X=x) = \frac{\Gamma(x + \psi)}{\Gamma(\psi)\Gamma(x+1)} \frac{\psi^\psi\mu^x}{(\psi+\mu)^{(\psi+x)}}$

$\log L = n\psi \log\psi - n\log\Gamma(\psi)+\Sigma_{i=1}^n\log\Gamma(x_i+\psi)+\Sigma_{i=1}^nx_i\log\mu-\Sigma_{i=1}^n(\psi+x_i)\log(\psi+\mu) - \Sigma_{i=1}^n \log\Gamma(x_i+1)$

$E(-\frac{\partial^2\ell}{\partial\mu\partial\psi}) = E[\Sigma_{i=1}^n\frac{(\psi+\mu)-(\psi+x_i)}{(\psi+\mu)^2}]=0$

Fisher信息矩阵的非对角线为$0$. 这表明两者之间没有相关性。