我会用$E$用于期望，而不是尖括号。

首先，$E(f(X))$总是可以通过$f(E(X))$; 唯一的问题是该近似值的准确性和充分性，这可能是非常特定于上下文的。

如果$f$是线性的（或更一般地，仿射的），$E(f(X)) = f(E(X))$，以及函数的求值顺序$f$和期望可以互换而不会引入任何错误。在某种程度上$f$是“几乎”线性的，那么$E(f(X))$可能几乎等于$f(E(X))$; 最终归结为在特定情况下对此进行量化。

如果$X$以概率 1 取一个特定的常数值，然后$E(f(X)) = f(E(X))$， 不管$f$. 在某种程度上$X$具有非常接近于概率为 1 的特定常数的分布，则$E(f(X))$可能几乎等于$f(E(X))$; 最终归结为在特定情况下对此进行量化。

取决于功能$f$和概率分布$X$，可能还有其他组合也允许交换顺序而不会引入任何错误。这是一个简单的人为示例系列。让$f(x)$= 一些函数$x$为了$x > 0$,$f(0) = 0$， 和$f(x)= -f(-x)$为了$x < 0$. 让$X$是一个关于 0 对称的随机变量，并假设$E(f(X))$存在。然后$E(f(X)) = f(E(X))$，恰好等于零。

如果$f$是凸的或凹的，则 Jensen 不等式https://en.wikipedia.org/wiki/Jensen's_inequality可用于提供交换期望和非线性函数中的误差的单边界限。具体来说，如果$f$是凸的，那么$f(E(X)) \le E(f(X))$. 如果$f$是凹的，那么$f(E(X)) \ge E(f(X))$.