我想我可以为三点分布开发一个部分答案。假设我有和对于一些固定。则 所以（必须应用一些合理的条件才能使解正确，；我不会打扰并假设满足这些条件）。那么 现在将其视为的函数，我们看到，所以${\rm Prob}[X=0]=p_0, {\rm Prob}[X=1]=p_1$${\rm Prob}[X=a]=p$$a,p\in(0,1)$

$$\mathbb{E}[X] = ap + p_1 = \mu,$$ $p_1=\mu-ap, p_0=1-p-\mu+ap$$0\le p_0, p_1\le 1$ $$\mathbb{V}[X]=a^2p + p_1 - \mu^2 = a^2p + \mu-ap -\mu^2=(a^2-a)p+\mu(1-\mu).$$ $p$$a^2-a<0$$a\in(0,1)$$\mathbb{V}[X]$随着的减小而增加，因此在边界值处最大化（即，两点分布）。$p$$p=0$

让。因为是凸的，所以我们有 )因此我们得到了界 对于所有随机变量与。$f(x) = (x - \mu)^2$$f$

$$f(x) = f\bigl( (1-x)\cdot 0 + x\cdot 1 \bigr) \leq (1-x) f(0) + x f(1)$$ $x\in[0,1]$ $$\begin{align*} \mathrm{Var}(X) &= \mathbb{E}\bigl(f(X)\bigr) \\ &\leq \mathbb{E}(1-X) f(0) + \mathbb{E}(X) f(1) \\ &= (1-\mu)\mu^2 + \mu (1-\mu)^2 \\ &= \mu(1-\mu) \end{align*}$$ $X\in[0,1]$$\mathbb{E}(X) = \mu$

对于问题中的两点随机变量，和我们有。因此，界限是尖锐的，两点分布确实使方差最大化。$X$$P(X=0)=1-\mu$$P(X=1) = \mu$$\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}(X^2) - \mu^2 = (1-\mu)0^2 + \mu 1^2 - \mu^2 = \mu(1-\mu)$

[我怀疑以上是红衣主教对问题的神秘评论所暗示的。]