该统计量通过比较它们在观测值下的概率密度来权衡两个假设的证据$y$. 因为在这种情况下分母可能为零，所以我们必须考虑两种可能性：

1. 分母是正数。 这意味着$H_0$为$y$. 它发生在$0 \lt y$. 除以零没有问题。在指标功能方面$\mathcal{I}$，似然比的公式是

   $$\frac{\mathcal{I}_{(0,1)}(y)}{e^{-y}}.$$ 这等于$e^y$为了$0 \lt y \lt 1$否则为零。

2. 分母为零。 这表示$H_0$不指定概率密度$y$. 有两种可能：

   • $H_1$不指定概率密度$y$， 任何一个。因此，这$y$在任一假设下都没有机会被观察到。我们不需要再考虑这个了。该组$y$这种情况是假设支持的补集的交集：非正实数。

   • $H_1$分配一些概率密度$y$. 因此，这$y$下是可能的$H_1$但不低于$H_0$. 结论很明显。 作为惯例，我们可以在扩展的实数行中使用值$\{-\infty, \infty\}\cup \mathbb{R}$指定此类似然比（或其对数）；在这里，我们会说似然比（及其对数）是$\infty$.

总结一下，让$S_i\subset\mathbb{R}$成为假设的支持。那么似然比必须被认为是一个函数，其域是支持的并集$S_0\cup S_1$它采用扩展正实数的值$[0,\infty)\cup\{\infty\}$. 对数似然比取扩展实数中的值$\mathbb{R}\cup\{-\infty,\infty\}$， 和$\log(0)$定义为$-\infty$.

什么时候$S_0=S_1$，无论假设如何，零分母的情况都没有发生的机会，如果我们愿意，我们可以省略使用扩展实数。这是似然比设置中的常见假设。

实际上，这两种密度都是在整条线上定义的，它们在您提到的地方之外的其他地方只是 0。

你必须仔细考虑至少 +ve 半线上的密度——你的答案定义了你在什么时候得到什么$0<y<1$，但是当 y=4.3 时 LR 是多少？

如果分布真的是指数级的，那可能会发生，所以你必须考虑它。