对于不严格递增的 CDF，即其逆未定义，定义分位数函数

$$F^{-1} (u) =\inf \{x: F(x) \geq u \},\quad 0<u<1.$$

其中 U 具有均匀分布。证明随机变量具有 cdf。$(0,1)$$F^{-1} (u)$$F(x)$

在严格增加 CDF 的情况下，证明很容易，因为定义了逆。定义$X=F^{-1} (u)$

$$P\left[X<x \right]= P \left [F^{-1} (U) \leq x \right]= P \left[U \leq F(x) \right] =F(x)$$

但是我如何容纳其逆由分位数函数给出的非递减 CDF？我是一个初学者，所以欢迎任何帮助。谢谢你。