两个任意正态随机变量的比率通常不是 Cauchy。

甚至两个联合正态随机变量的比率也不是一般的 Cauchy。

假设您正在处理一个确实具有柯西分布的比率。然后各种量会收敛 - 包括分位数和分位数的许多函数，修剪和 Winsorized 矩，以及 cdfs。

首先，仅当分母分布以 0 为中心时，比率才是柯西。在任何情况下，关于和比率的统计数据可以近似为：$y$$x$

$$\hat{\mu}_{y:x} = \mu_y/\mu_x + \sigma^2_x * \mu_y / \mu_x^3 + cov(x,y) * \sigma^2_x * \sigma^2_y / \mu_x^2$$ $$\hat{\sigma}^2_{y:x} = \sigma^2_x\times\mu_y / \mu_x^4 + \sigma^2_y / \mu_x^2 - 2 * cov(x,y) * \sigma^2_x * \sigma^2_y / \mu_x^3$$

如果假设方差相对于均值可以忽略不计（请参阅文章如何参数化两个正态分布变量的比率，或一个的倒数？）。

但是，我认为正如其他答案中所建议的那样，使用分位数会更合适。

您的问题假设分母的分布以 0 为中心。如果是这样，中位数和 mad 将收敛（分别为 0 和 1）。

nn<-exp(seq(log(10),log(100000),l=20))
aa<-rep(NA,length(nn))
bb<-rep(NA,length(nn))
for(i in 1:length(nn)){
    x1<-rt(nn[i],df=1)
    aa[i]<-median(x1)
    bb[i]<-mad(x1,constant=1)
}
par(mfrow=c(2,1))
plot(bb,type="l",ylab="mad",xlab="log sample size")
plot(aa,type="l",ylab="med",xlab="log sample size")

顺便说一句，您必须将 mad 计算中的一致性因子从更改为（分位数函数处评估的柯西分布）$1.4826=1/\Phi^{-1}(0.75)$$1=1/t^{-1}_{0.75}$$q=0.75$