解决方案

转型

$$(p, x) \to (p, (x-L)/(U-L))$$

将这些点转换为 CDF 上的点以进行 Beta$(\alpha,\beta)$分配。假设这已经完成（所以我们不需要更改符号），问题是找到$\alpha$和$\beta$为此

$$F(\alpha, \beta; x_i) = p_i, i = 1, 2$$

其中 Beta CDF 等于

$$F(\alpha,\beta; x) = \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\int_0^x t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1} dt.$$

这是一个很好的功能$\alpha \gt 0$和$\beta \gt 0$：在这些论点中是可区分的，并且评估成本不会太高。但是，不存在封闭形式的通解，因此必须使用数值方法。

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实施技巧

当心：当两者$x_i$处于分布的同一尾部，或者当两者接近时$0$或者$1$，找到一个可靠的解决方案可能会有问题。在这种情况下有用的技术是

1. 重新参数化分布以避免强制执行“硬”约束$\alpha\ge 0, \beta \ge 0$. 一种可行的方法是使用这些参数的对数。

2. 优化相对误差的度量。对 CDF 执行此操作的一个好方法是使用值的logits的平方差：也就是说，替换$p_i$经过$\text{logit}(p_i) = \log(p_i/(1-p_i))$并且适合$\text{logit}(F(\alpha,\beta;x_i))$通过最小化平方差的和来得到这些值。

3. 要么从对参数的非常好的估计开始，要么——如实验所示——高估它们。（在遵循准则 #2 时，这可能不太必要。）

例子

以下示例代码说明了这些方法，其中使用nlm了R. 即使在第一种情况下，它也能产生完美的拟合，这在数值上具有挑战性，因为$x_i$小而远进入同一条尾巴。输出包括覆盖拟合（红色）的真实 CDF（黑色）图。图上的点显示了两者$(x_i, p_i)$对。

这种解决方案在更极端的情况下可能会失败：获得正确参数的近似估计有助于确保成功。

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# Logistic transformation of the Beta CDF.
#
f.beta <- function(alpha, beta, x, lower=0, upper=1) {
  p <- pbeta((x-lower)/(upper-lower), alpha, beta)
  log(p/(1-p))
}
#
# Sums of squares.
#
delta <- function(fit, actual) sum((fit-actual)^2)
#
# The objective function handles the transformed parameters `theta` and
# uses `f.beta` and `delta` to fit the values and measure their discrepancies.
#
objective <- function(theta, x, prob, ...) {
  ab <- exp(theta) # Parameters are the *logs* of alpha and beta
  fit <- f.beta(ab[1], ab[2], x, ...)
  return (delta(fit, prob))
}
#
# Solve two problems.
#
par(mfrow=c(1,2))
alpha <- 15; beta <- 22 # The true parameters
for (x in list(c(1e-3, 2e-3), c(1/3, 2/3))) {
  x.p <- f.beta(alpha, beta, x)        # The correct values of the p_i
  start <- log(c(1e1, 1e1))            # A good guess is useful here
  sol <- nlm(objective, start, x=x, prob=x.p, lower=0, upper=1,
             typsize=c(1,1), fscale=1e-12, gradtol=1e-12)
  parms <- exp(sol$estimate)           # Estimates of alpha and beta
  #
  # Display the actual and estimated values.
  #
  print(rbind(Actual=c(alpha=alpha, beta=beta), Fit=parms))
  #
  # Plot the true and estimated CDFs.
  #      
  curve(pbeta(x, alpha, beta), 0, 1, n=1001, lwd=2)
  curve(pbeta(x, parms[1], parms[2]), n=1001, add=TRUE, col="Red")
  points(x, pbeta(x, alpha, beta))
}