机器算法验证 - 外来分布 - 吾爱随笔录

机器算法验证分布指数族

2022-04-14 20:14:24

在开发变分平均场算法的过程中，我发现了一个具有以下形式的分布：

$q(x) \propto x e^{-ax^2 +bx}$

和 $x\in(0,+\infty)$

这样的发行版有名字吗？什么是归一化因子？和预期的时刻？我总是可以计算它们，但我想知道这是否已经完成。

1个回答

写作

x \exp (- a x^{2} + b x) = \exp (\frac{b^{2}}{4 a}) x^{2 - 1} \exp (- {(\frac{x - b / (2 a)}{1 / \sqrt{a}})}^{2})

$x\exp(-ax^2+bx) = \exp\left(\frac{b^2}{4a}\right)x^{2-1}\exp\left(-\left(\frac{x-b/(2a)}{1/\sqrt{a}}\right)^2\right)$ 将此分布表示为具有尺度参数的广义 Gamma

1 / \sqrt{a}

$1/\sqrt{a}$ 和形状参数

d = 2, p = 2

$d=2, p=2$ 已被转移

μ = b / (2 a)

$\mu=b/(2a)$ 并在左侧截断

b / (2 a)

$b/(2a)$ . 因为的力量

x

$x$ 在指数是

p = 2

$p=2$ 它也可以称为左移瑞利分布。

使用矩生成函数 (MGF) 相对容易找到原始矩 $\mathbb{E}(\exp(-tX))$ 因为缩放和移位告诉我们将变量从 $x$ 至 $y=\sqrt{a}(x - b/(2a))$ ，之后积分分成两个，很容易根据标准正态分布函数进行评估 $\Phi$ ：

ϕ (t) \propto 2 \sqrt{a} + 2 \sqrt{π} (b - t) \exp (\frac{(b - t)^{2}}{4 a}) Φ (\frac{b - t}{\sqrt{2 a}}) .

$\phi(t) \propto 2\sqrt{a} + 2\sqrt{\pi}(b-t)\exp\left(\frac{(b-t)^2}{4a}\right)\Phi\left(\frac{b-t}{\sqrt{2a}}\right).$

因为 MGF 与密度函数成正比，所以现在可以通过评估来找到比例常数（到目前为止已被忽略） $\phi(0)$ ，因为 MGF 在零时的值必须等于 $1$ . 换句话说，MGF 是 $\phi(t)/\phi(0)$ .

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