基本上是的，投影梯度下降是解决约束优化问题的另一种方法。它仅在投影操作简单或具有封闭形式时才有用，例如框约束或线性约束集。

除了直接用简单的约束集解决约束问题外，它还可以用于对偶，在某些问题上效果很好。例如，在许多问题中，原始项不受约束但涉及非平滑项。通过取对偶，可以（通常）将非平滑项转换为简单约束，从而使问题的其余部分可区分。然后可以使用投影梯度下降。这方面的例子包括 L1 范数正则化问题；我特别喜欢这种技术的应用。

AaronDefazio 有一个很好的答案：

它仅在投影操作简单或具有封闭形式时才有用，例如框约束或线性约束集。

我只是添加一些细节和这个陈述的一个例子。

请注意，在 Projected Gradient Decent 中，投影步骤是另一个优化问题。在这个问题中，我们想找到一个点$C$（约束集），这个点最接近给定点$x^*$. 哪个是

$$\underset{x \in C}{\text{arg min}} \|x-x^*\|$$

在某些情况下，这个优化问题很容易解决并且已经关闭。AaronDefazio 提到了框约束和线性约束集。我将使用一个更简单的例子，球体约束来演示（球体约束是L2，盒子约束是L1）。

$$\underset{x \in C}{\text{arg min}} \|x-x^*\|=\left\{ \begin{array}{ll} x^* & \|x^*\| \leq r \\ r \frac {x^*} {\|x\|} & \text{otherwise} \\ \end{array} \right.$$

该等式表明，如果该点位于约束域内，则投影就是该点本身。

我将用图形演示的情况，检查蓝色轨道和红色轨道中的点（用数字标记），关系很简单：将蓝色点与中心连接圆（灰色虚线），与圆的交点是投影。$r \frac {x^*} {\|x\|}$

这个例子的重点是试图表明在这种情况下找到投影是容易和直观的，并且它有一个封闭形式的解决方案。另一方面，如果我们有一个非常复杂的，解决不会这么小。在这种情况下，我们可能不会使用投影梯度下降。$C$$\underset{x \in C}{\text{arg min}} \|x-x^*\|$