这在某种人为的意义上是可能的：只需调整$R$一点点$S$是非零的，以保证$R$在这种情况下是非零的。

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"抵抗"是什么意思$R$有一个有限的崩溃点，但样本的可能性有值$(Y, Y, \ldots, Y, Y^\prime \ne Y)$意思是$R$即使是最极端的数据也必须响应。似乎这样一个$R$无法抗拒。但是，由于您没有对$R$否则可能会限制我们的选择，您可以通过确保$R$在这种情况下变化不大。例如，将其定义为

$$R(Y_1, \ldots, Y_n) = \text{MAD}(Y_1,\ldots, Y_n) + I(S(Y_1,\ldots,Y_n) \gt 0)/n$$

（使用指标功能$I$）。因为这可以改变 MAD 的数量是有限的，$R$与 MAD 具有相同的击穿点，使其具有（强烈）抵抗力。

这只是增加了$1/n$当 SD 为非零时，到（非负）MAD，保证“神奇的属性”。通过添加一个随着样本量的增加而减小到零的量，渐近地这$R$将具有与 MAD 相同的期望，表明人为修正并不一定那么糟糕。

当然，只有在$Y_i$没有连续分布或强相关（否则 SD 为零的机会为零）。

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如果您不想使估计器相对于 MAD 有偏差，例如，您可以将 MAD 乘以

$$1 + \text{sign}(Y_1-Y_2)I(S(Y_1,\ldots,Y_n)\gt 0)/(2n)$$

当。。。的时候$Y_i$是独立同居。（这个技巧避免了使用随机估计器的需要。）

自然地，MAD 可以被几乎任何有抵抗力的规模估计器所取代。的加法因子$1/n$可以被任何有界非零函数代替$n$或乘法因子$1\pm 1/(2n)$由范围在有限区间内的任何函数$[a,b]$和$a\gt 0$.

我将在这里收集评论与导入，这是不可能的简单方式。

考虑一个例子，例如$y = 7, 7, \cdots, 7, 42$有两个不同的值，其中一个只出现一次。这个例子中的单例，$42$，有异样的味道。因此，从广义上讲，抵抗规模的措施在这里很有趣。

但是，正如@Michael M 在问题中指出的那样，对于此类示例（具有正标准偏差），则 IQR 和 MAD 为零。我们可以补充一点，最短一半的长度也是如此。但是 SD 的任何其他替代方案都几乎不能忽略最小的成对正差的值，即$|y_i - y_j|$这是积极的。这里就是$35$对于这种类型的示例，它必须等于范围，因此本质上不是健壮的（或抗性的）。

请注意，对于二进制数据编码$0$和$1$类似的情况很容易出现，但使用 SD 作为尺度的衡量标准是非常普遍的，无需讨论。对于二进制数据，IQR 和 MAD 通常为 0。