事实上，莱布尼茨的无穷小增量符号可能会令人困惑。

在这里必须小心保持所有项的顺序相同：$e^{-\lambda dt}$必须近似为dt的一阶（不是零阶，即在dt中没有任何项），即e^{-\ lambda dt}大约为1 - λ dt + （加上在dt中至少是二次的项，因此比dt本身更快地变为零）$dt$$dt$$e^{-\lambda dt}$$1 - \lambda dt$$dt$$dt$

然后有一个：

$$\lambda dt \cdot e^{-\lambda dt} \approx \lambda dt \cdot (1 - \lambda dt)$$ 然后对于$dt \rightarrow 0$可以忽略非前导项（$dt^2$）并离开与$\lambda dt$。

我认为前两个答案是“倒退”的问题——尽管它们都是正确的。它们不是以假设开始，以结论结束。如果我们从假设开始，那么我们有：

$$Pr(\text{No event in} [t,t+dt])=1-Pr(\text{1 event in} [t,t+dt])=1-\lambda dt$$

如果我们定义函数如下：$h(t)$

$$Pr(\text{No event in} [0,t])=h(t)$$

$$Pr(\text{No event in} [0,t+dt])=h(t+dt)$$

此外，我们可以使用增量的独立性——泊松过程的另一个假设，我们有：

$$h(t+dt)=h(t)[1-\lambda dt]\implies\frac{h(t+dt)-h(t)}{dt}=-\lambda h(t)$$

将限制设为我们有，这意味着。我们可以通过注意来解决比例常数- 即肯定在中看不到任何事件。这给出了。这个推导可以在这里找到（第 4 页）以及如何将其扩展到任意数量事件的概率（基本上是通过将零计数概率乘以，其中是事件数）。$dt\to 0$$h'(t)=-\lambda h(t)$$h(t)=K\exp(-\lambda t)$$h(0)=1$$[0,0]$$K=1$$\lambda^n$$n$

这是@Andre Holzner 的另一种（但基本上等价的）推导：

对于速率为的泊松过程，$N(t)$$\lambda$

$Pr(N(t+\tau) - N(t) = 1) = (\tau\lambda)\exp(-\tau\lambda) = Pr(N(\tau) = 1)$

附近有泰勒展开$\tau=0$

$\tau\lambda - \tau^2\lambda^2 + O(\tau^3)$

这大约是小。实际限制为零是正确的，因为在开发泊松过程时$\tau\lambda$$\tau$$Pr(N(0)=0)=1$