你有四个条件概率。

$$\text{tp} = \Pr(\text{detected}\mid\text{aircraft present})$$ $$\text{fn} =\Pr(\text{undetected}\mid\text{aircraft present})$$ $$\text{fp} = \Pr(\text{detected}\mid\text{aircraft not present})$$ $$\text{tn} = \Pr(\text{undetected}\mid\text{aircraft not present})$$

使用条件概率的定义，很容易证明 和

$$\text{tp} + \text{fn} = 1$$ $$\text{fp} + \text{tn} = 1.$$

为了证明第一个，因为 并且 确定事件，则（画维恩图） 其中我使用了快捷方式

$$\{\text{detected}\}\cap\{\text{undetected}\}=\emptyset,$$ $$\{\text{detected}\}\cup\{\text{undetected}\}=\Omega,$$ $$\{\text{aircraft present}\} = \{\text{detected},\text{aircraft present}\}\cup\{\text{undetected},\text{aircraft present}\},$$ $$\{\text{detected},\text{aircraft present}\} := \{\text{detected}\}\cap\{\text{aircraft present}\}.$$

因此，

$$\Pr(\text{detected}\mid\text{aircraft present}) + \Pr(\text{undetected}\mid\text{aircraft present})$$ $$= \frac{\Pr(\text{detected},\text{aircraft present}) + \Pr(\text{undetected},\text{aircraft present})}{\Pr(\text{aircraft present})}$$ $$= \frac{\Pr(\text{aircraft present})}{\Pr(\text{aircraft present})} = 1.$$

直觉是，如果给你相同的信息，两个互补事件的条件概率必须加起来为 1。

在数学上，如果，则是概率测度。$\Pr(B)>0$$\Pr(\,\cdot\mid B)$

但是，一般来说，

$$\text{tp} + \text{fp} \neq 1.$$

考虑一下：你有一个超级雷达，如果存在飞机，它总是能检测到它（）。它永远不会错过一架真正的飞机。但是，有时，您的超级雷达非常敏感，以至于在没有飞机的情况下，它会将秃鹰与飞机混淆，例如。$\text{tp}=1$$\text{fp}=0.2$