1)系数的线性组合a具有的标准误差，其中是系数的方差协方差矩阵。（有关随机变量的线性组合的方差，请参阅此维基百科链接。）我们可以在 R 中使用 V，因此使用末尾中的可重现代码，我们得到：$\sqrt(a'Va)$$V$$V$vcovfm

a <- c(0, 1, 0, 1, 0, 0)
c(sqrt(t(a) %*% vcov(fm) %*% a))
## [1] 2.940084

2) delta 方法delta 方法可用于获得系数的一般（可微分）非线性函数的近似标准误差。当函数是线性的，就像这里一样，那么基于 delta 方法的泰勒级数近似是精确的，并给出与上面相同的结果。

library(alr3)
deltaMethod(fm, "x1dog+x2happy")
##                   Estimate       SE     2.5 %   97.5 %
## x1dog + x2happy -0.2095575 2.940084 -5.972016 5.552901

3) 一般线性假设检验假设（其中是系数向量）涉及在 t 检验的分母中使用所需的标准误差，这表明我们寻找一个函数来执行这种假设检验。事实上，使用假设运行确实会显示所需的标准误差，如下所示：$a'\beta = 0$$\beta$glhtx1dog + x2happy = 0

library(multcomp)
summary(glht(fm, "x1dog + x2happy = 0"))

给出以下标准。显示的错误是 x1dog + x2 happy 的标准错误。它等于在 (1) 和 (2) 中计算的标准误差。

         Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses

Fit: lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3)

Linear Hypotheses:
                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
x1dog + x2happy == 0  -0.2096     2.9401  -0.071    0.948
(Adjusted p values reported -- single-step method)

笔记

我们假设输入是以下我们set.seed用来使其可重现的地方。

set.seed(123)
x1 <- as.factor(c(rep("dog", 3), rep("cat", 3), rep("mouse", 3)))
x2 <- as.factor(rep(c("happy", "sad", "angry"), 3))
x3 <- rnorm(9, 0, 1) + runif(9, 3, 5)
y <- rnorm(9, 10, 2)
fm <- lm(y ~ x1 + x2 + x3)

coef(fm)
## (Intercept)       x1dog     x1mouse     x2happy       x2sad          x3 
##  12.4103736   0.1637373  -1.3375086  -0.3732948  -1.4833220  -0.3470490 

两个相关（联合）正态变量的总和本身就是正。$Z=X+Y$$N(\mu_{X+Y},\sigma_{X+Y})$

分布的期望是简单的和，。$\mu_{X+Y} = \mu_X+\mu_Y$

分布的 SD 并不那么简单，因为您需要知道两个分布的协方差，但仍然可以直接计算：。$\sigma_{X+Y}=\sqrt{\sigma_X^2 + \sigma_Y^2 + 2*\sigma_{XY}}$

现在我们需要的只是协方差，它可以在R中使用（对于方差-协方差矩阵）在大多数模型对象上使用。$\sigma_{XY}$vcov()

set.seed(1)
x1 <- as.factor(c(rep("dog", 3), rep("cat", 3), rep("mouse", 3)))
x2 <- as.factor(rep(c("happy", "sad", "angry"), 3))
x3 <- rnorm(9, 0, 1) + runif(9, 3, 5)
y <- rnorm(9, 10, 2)


fit <- lm(formula = y ~ x1 + x2 + x3)

covariances <- vcov(fit)

            (Intercept)       x1dog      x1mouse      x2happy       x2sad           x3
(Intercept)   7.0133778 -0.67193955 -0.534382189  0.700431114  1.72549973 -1.801643527
x1dog        -0.6719396  1.13299205  0.565017653 -0.022183489 -0.04014533  0.031569426
x1mouse      -0.5343822  0.56501765  1.131288241  0.006502645  0.01176780 -0.009253944
x2happy       0.7004311 -0.02218349  0.006502645  1.395137989  1.04334118 -0.375713718
x2sad         1.7254997 -0.04014533  0.011767798  1.043341176  1.99575847 -0.679926841
x3           -1.8016435  0.03156943 -0.009253944 -0.375713718 -0.67992684  0.534679921

所以对的期望估计是, 或.$\text{SE}_{happy,dog}$sqrt(1.133 + 1.395 + 2*-0.022)1.576