机器算法验证 - Y = AX 的方差是多少，其中 A 是矩阵？ - 吾爱随笔录

Y = AX 的方差是多少，其中 A 是矩阵？

机器算法验证数理统计协方差

2022-04-09 07:46:38

这里 $X,Y$ 是长度向量 $n$ 和 $A$ 是一个 $n\times n$ 矩阵。假设协方差矩阵 $D(X)$ 知道吗？

1个回答

这个（线性变换）通常被列为协方差的一个属性，但也很容易显示：

\begin{aligned} cov (A X) & = E [A X X^{T} A^{T}] - E [A X] E [X^{T} A^{T}] \\ = A E [X X^{T}] A^{T} - A E [X] E [X^{T}] A^{T} \\ = A (E [X X^{T}] - E [X] E [X^{T}]) A^{T} \\ = A D A^{T} \end{aligned}

$\begin{align}\operatorname{cov}(AX)&=\mathbb E[AXX^TA^T]-\mathbb E[AX]\mathbb E[X^TA^T]\\&=A\mathbb E[XX^T]A^T-A\mathbb E[X]\mathbb E[X^T]A^T\\&=A(\mathbb E[XX^T]-\mathbb E[X]\mathbb E[X^T])A^T\\&=ADA^T\end{align}$

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