考虑以下示例。我们问了 50 名男性和 50 名女性一个问题，他们以 5 点李克特量表回答（1 完全不同意，5 完全同意）。假设 50 名男性回答 20 次 1、3 次 2、4 次 3、20 次 4 和 3 次 5，50 名女性回答 15 次 1、15 次 2、15 次 3、2 次 4 和 3 次 5。
我想测试两组的平均（或中位数）答案是否有显着差异。
问题是我既不能使用参数（t检验）也不能使用非参数（Mann-Whitney）检验，因为数据是非正态的（因此t检验不合适），序数因此不是连续的，多峰的，具有不同的方差和不同的形状（因此 Mann-Whitney 检验不合适）。如何检验我的假设？谢谢你的任何回答。
你所写的是对这些测试的许多常见误解的汇编。
简短的回答是：使用带有 Welch 校正的 t 检验。现在，细节。
我想测试两组的平均（或中位数）答案是否有显着差异。
均值和中位数是不同的东西。人们通常做的是他们根据平均值而不是中位数来思考，所以默认情况下这也是您应该瞄准的目标。李克特量表是由 Rensis Likert 人发明的，目的是使其对计算手段（不仅仅是中位数）有用。参见 James Carifio、Rocco Perla，“解决关于使用和误用李克特量表的 50 年争论”，医学教育评论，2008 年，Blackwell Publishing Ltd。
问题是我不能使用参数（t检验）和非参数（Mann-Whitney）检验，因为数据是非正态的（因此t检验不合适）（...），多模式（...）
当然不！这两个测试对于分布的形状都是稳健的。只有 Mann-Whitney（通常称为 Wilcoxon-Mann-Whitney 或 WMW 检验）要求两个分布具有相同的形状。
(...) 序数因此不连续 (...)
“序数变量”的意思是“算术手段对它没有意义”。就像以“1 - 文法学校”、“2 - 学院”和“3 - 大学” 3 级量表衡量的教育一样。这并不意味着它不是连续的（尽管通常是这种情况）。
WMW 和 t 检验都不需要连续变量。
(...) 具有不同的方差 (...)
当您使用带有 Welch 校正的 t 检验（Welch BL The generalization of Student's problem when several different population variances are involved, Biometrika, 34, 28-38, 1938）时，您无需担心不等方差（和形状）。t 检验（与任何基于均值的检验一样）在偏离正态性方面已经非常稳健（参见例如 Michael R. Chernick、Robert H. Friis “Introductory Biostatistics for The Health Sciences”、Willey Interscience 2003 和许多其他图书）。这个属性来自一个事实，它是基于手段的。借助中心极限定理，均值分布很快收敛到正态分布。
(...) 并且具有不同的形状（因此 Mann-Whitney 测试不合适）。
是的，你没看错。从技术上讲，Mann-Whitney U 检验不检验中位数，而是检验一个分布是否与另一个分布发生偏移，这是微妙的不同。特别是，它使该测试对组间分布的差异敏感。（参见 Morten W. Fagerland 和 Leiv Sandvik “The Wilcoxon-Mann-Whitney test under scrutiny”，John Willey & Sons，2009）。这些差异可以转化为例如方差或偏度的差异。因此，与 Welch 检验（带有 Welch 修正的 t 检验）相比，此检验在没有方差同质性的情况下是不安全的。
也许你可以使用引导。
你有100分。如果没有显着差异，那么这 100 个点一起代表了整个值的分布。
因此，汇集您的样本，并从该采样空间中抽取（替换）两组 50 个点。测量这两组点的平均值和中位数之间的差异。重复几百次（因为你有一台电脑，所以最多需要几秒钟！）。
现在，测量两个原始样本之间的平均值和中位数的差异。95% 的自举差异是否小于（或大于）此差异？那么你的差异在 95% 的置信水平上是显着的。