您引用了两个变量的协方差的定义，而带有转置的形式是协方差矩阵的定义。在第一种情况下，我们谈论的是两个随机变量和，$X$$Y$

$$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{E}{\big[(X - \operatorname{E}[X])(Y - \operatorname{E}[Y])\big]}$$

而在第二种情况下是随机变量$\mathbf{X}$$X_1,\dots,X_n$

$$\mathbf{X} = \begin{bmatrix}X_1 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix}$$

所以我们以协方差矩阵的形式讨论多个变量之间的协方差

$$\Sigma=\mathrm{E} \left[ \left( \mathbf{X} - \mathrm{E}[\mathbf{X}] \right) \left( \mathbf{X} - \mathrm{E}[\mathbf{X}] \right)^{\rm T} \right]$$

并且转置出现在这里，因为您将两个向量相乘。

协方差矩阵是矩阵值的。两个随机变量的协方差是该矩阵中的一个元素，即一个标量。因此，您列出的协方差公式会产生一个标量，而为向量值会产生一个矩阵。$xx^T$$x$

小例子：考虑一个 2x1

$$v = \begin{bmatrix} 7\\ 6 \end{bmatrix}$$

注意

$$v'v = \begin{bmatrix} 7&6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7\\ 6 \end{bmatrix}$$

是标量（或 1x1 矩阵？）

但

$$vv' = \begin{bmatrix} 7\\ 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7&6 \end{bmatrix}$$

是一个矩阵