的 iid Bernoulli 随机变量的无限序列，并设上的停止时间。是否总是的连续函数？$X = (X_i)_{i \in \mathbb N}$$p \in (0,1)$$N$$X$$\mathrm E[N]$$p$

直觉上这似乎是正确的，因为停止时间仅取决于的值，并且这些值的分布随着平滑变化。$X$$p$

但是，我找不到证据或反例。有任何想法吗？

我尝试过的一些方法（到目前为止没有成功）：

• 证明系列一致地收敛于任何区间[a,1-a]与\in (0,1)。这已经足够了，因为\Pr[N=n]是p的一个连续函数（实际上它是一个多项式）。$\sum_{n=1}^\infty n\Pr[N=n]$$[a,1-a]$$a \in (0,1)$$\Pr[N=n]$$p$
• 证明部分和$\sum_{n=1}^M n \Pr[N=n]$是$p$的等值连续函数。
• 也许 Wald 的等式可能有用：$\mathrm E[N] \; p = \mathrm E[\sum_{i=1}^N X_i ]$。