这取决于条件强度函数的参数化。（常规）点过程似然由下式给出，

$L = \left[ \prod_i \lambda^\ast(t_i) \right] \exp\left(-\int \lambda^\ast(u) \,\mathrm{d}u \right)$

使用条件强度函数（来自Daley & Vere-Jones，2002）。主要问题是它是功能性的；它是实现历史的函数。因此，需要有限或非参数化参数化来实际估计它。$\lambda^\ast(t)$

一类成功的估计器假定对历史的线性形式的依赖。在神经科学界，它（不幸地）被称为 GLM，因为它在时间离散时类似于（泊松）广义线性模型。这里条件似然参数化为其中是过程的离散化有限历史，是（有限向量）参数，是（逐点）非线性函数。可以证明，当为凸对数凹时，对数似然是凹的。参见（Paninski 2004）。$\lambda^\ast(t) = f(\mathbf{h}^\top \mathbf{r})$$\mathbf{r}$$\mathbf{h}$$f(\cdot)$$f$

• Paninski, L. (2004)。级联点过程神经编码模型的最大似然估计。网络：计算机。神经系统，15（04）：243-262。

似然函数作为一种函数形式，也是一种密度。由于我们对似然的对数感兴趣，所以问题可以分为两部分：
a）密度是“对数凹的”吗？（它的对数是随机变量的凹函数吗？）
b）密度（被视为参数的函数）在感兴趣的参数中是对数凹的吗？

这种两步法的原因是，我们有许多关于密度对数凹度的既定结果（列表参见http://works.bepress.com/ted_bergstrom/31/）。

然后，当我们检查关于参数的函数形式时（例如，当参数和变量线性连接时），我们可以使用各种其他结果，这些结果提供了“继承”对数凹度的条件。本质上，这些是一般凹/凸的“继承”规则。

要将这种方法应用于@Memming 的更重要的答案，这种情况下的对数似然是

$$\ln L = \sum_i \ln \lambda^\ast(t_i) - \int \lambda^\ast(u) \,\mathrm{d}u$$

$$\Rightarrow \ln L = \sum_i \ln f(\mathbf{h}^\top \mathbf{r_i}) - \int f(u) \,\mathrm{d}u$$

如果是对数凹的，则在其参数中是凹的，无论它可能是什么。现在，这个参数是参数向量的元素的线性组合，因此，同样根据已建立的结果，如果仅将 \ln f()视为也是凹的。但是，凹函数的总和也是凹的。$f()$$\ln f()$$\mathbf h$$\ln f()$$\mathbf h$

关于对数似然的另一个分量，积分，我们希望它是凸的，因此它的负数是凹的。一个充分条件是是非递减的，无论它是凹的还是凸的......我不明白的凸性如何保证积分的凸性，因为凸函数可以在其参数中减少。另一方面，如果不减小，则假设凸性似乎是多余的。 $f$$f$$f$

我欢迎任何关于这一点的解释。